Question

（10分）如图所示，竖直平面内有一粗糙的圆弧圆管轨道，其半径为R=0.5m，内径很小。平台高h="1.9" m，一质量m=0.5kg、直径略小于圆管内径的小球，从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆管轨道上P点的切线方向进入圆管内，轨道半径OP与竖直线的夹角为37°。g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。不计空气阻力。求：
（1）小球从平台上的A点射出时的速度v₀是多大?
（2）小球通过最高点Q时，圆管轨道对小球向下的压力F_Q＝3N，小球在圆管轨道中运动时克服阻力所做的功W是多少？

Answer 1

（1）v₀＝8 m/s
（2）W＝18.5 J

（1）设小球从A到P的过程中，运动时间为t，竖直位移为y，到达P点时竖直方向的速度是v_y，则
y＝h－R(1－cos37°)            ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
                    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
y＝1.8 m，t＝0.6 s
v_y＝gt                        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
解得v₀＝8 m/s                ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
（2）设小球在P点的速度为v_P，则
v_P＝                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
由动能定理有－mgh－W＝    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分)
由牛顿第二定律有mg＋F_Q＝       ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
v_P＝10m/s，v_Q＝m/s  
解得W＝18.5 J                     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
（2）或解：设小球在Q点的速度为v_Q，则
L=（h－2R）                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
由动能定理有mgL－W＝   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分)
由牛顿第二定律有mg＋F_Q＝        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)
L=0.9m，v_Q＝m/s
解得W＝18.5 J                        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分)