Question

4．在光滑绝缘的水平面上，左侧平行极板间有水平方向的匀强电场，右侧圆筒内有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，俯视图如图所示，圆心为O，半径为R．一质量为m、电荷量为q的带电小球（可视为质点），初始位置在A点，现由静止经电场加速后从C孔沿直径射入磁场区域，小球和圆筒壁的碰撞没有动能和电荷量损失．B、R、m、q均为已知量，圆筒仅有一个出入口C．
（1）求平行板间电压U和小球在磁场中运动半径r的函数关系式；
（2）小球与圆筒壁碰撞两次后恰好从出入口C返回，求它在磁场中运动的时间；
（3）小球能从出入口C返回且不会跨越C点，平行板间所加电压U应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）对直线加速过程根据动能定理列式得到速度与电压U的关系．在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式得到半径与速度的关系，最后联立求解即可；
（2）小球与圆筒壁碰撞两次后恰好从出入口C返回，碰撞点将圆筒三等分，画出轨迹图，由几何关系确定出轨迹对应的圆心角，分析时间与周期的关系进行求解．
（3）小球能从出入口C返回且不会跨越C点，设小球经过n个相同圆弧顺次排列后刚好经过C点离开入口．每段圆弧对应磁场区域圆的圆心角为$\frac{2π}{n}$，由几何关系求出粒子轨道半径表达式，由第1小题r的表达式求解U．

解答 解：（1）设粒子在磁场中圆周运动的线速度大小为v，轨迹半径为r．
小球在电场中加速过程，根据动能定理，有：
 qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
小球在磁场中运动的过程，根据牛顿第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$；
联立解得：U=$\frac{q{B}^{2}{r}^{2}}{2m}$；
（2）小球与圆筒壁碰撞两次后恰好从出入口C返回，轨迹如图所示：
由几何知识得：θ=$\frac{2π}{3}$
则轨迹圆弧对应的圆心角为 $\frac{π}{3}$
小球做圆周运动的周期为 T=$\frac{2πm}{qB}$
则小球在磁场中运动的时间 t=$\frac{3×\frac{π}{3}}{2π}T$=$\frac{πm}{qB}$
（2）据题意可知，设小球经过n个相同圆弧顺次排列后刚好经过C点离开入口．
则每段圆弧对应磁场区域圆的圆心角为 θ=$\frac{2π}{n}$，（n=3，4，5，6…）
小球的轨迹半径：r=Rtan$\frac{θ}{2}$；
由U=$\frac{q{B}^{2}{r}^{2}}{2m}$得 U=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}（tan\frac{π}{n}）^{2}}{2m}$，（n=3，4，5，6…）．
答：
（1）平行板间电压U和小球在磁场中运动半径r的函数关系式为 U=$\frac{q{B}^{2}{r}^{2}}{2m}$；
（2）小球与圆筒壁碰撞两次后恰好从出入口C返回，它在磁场中运动的时间为 $\frac{πm}{qB}$；
（3）小球能从出入口C返回且不会跨越C点，平行板间所加电压U应满足的条件为：U=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}（tan\frac{π}{n}）^{2}}{2m}$，（n=3，4，5，6…）．

点评 本题关键明确带电粒子的运动规律，画出运动轨迹，然后根据几何关系求解出半径，再根据动能定理和牛顿第二定律列式求解．在求小球在磁场中运动时间时，要注意公式t=$\frac{α}{2π}$T中α对应的圆心角，不是磁场区域的圆心角．