Question

9．如图所示，金属杆ab、cd置于足够长的平行轨道MN、PQ上，可沿轨道滑动，轨道所在的空间有竖直向上匀强磁场，导轨电阻不计．则下面说法中正确的是（　　）

• A． 若轨道光滑，给ab一初速度v₀，则最终ab、cd一定做匀速运动且速度大小均为0.5v₀
• B． 若轨道光滑，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力作用，则最终二者一定做匀加速运动，且速度差恒定
• C． 若轨道粗糙，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力作用，则最终二者一定做匀加速运动，且速度差恒定
• D． 若将cd换成固定于MN、PQ间的一电容器，且轨道光滑，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力，则最终ab一定做匀加速直线运动

Answer 1

分析 若轨道光滑，给ab一初速度v₀，ab运动后在ab棒中产生电动势，电路中产生感应电流，根据楞次定律可知，ab受到的安培力的方向向后，cd受到的安培力的方向向前，结合F=BIL可知两根棒中受到的安培力大小相等，方向相反，由动量守恒定律即可求出二者的末速度．
若轨道光滑，开始时ab的速度比较小，则电路中的电流比较小，ab受到的安培力小于拉力F，所以ab向右做加速运动，同时cd 也向右做加速运动，但开始时ab的加速度大，随速度差的增大，二者的加速度逐渐趋于相等，最后二者以相等的加速度运动．
若轨道粗糙，根据外力与摩擦力比较，从而判定棒ab运动情况，再根据安拉力与滑动摩擦力关系，得出cd棒运动情况，最后根据闭合电路欧姆定律与安培力表达式，即可求解；
若将cd换成固定于MN、PQ间的一电容器，金属棒在向右运动的过程中，随着速度增大，安培力增大，由牛顿第二定律分析加速度的变化．

解答 解：A、若轨道光滑，ab运动后在ab棒中产生电动势，电路中产生感应电流，根据楞次定律可知，ab受到的安培力的方向向后，cd受到的安培力的方向向前，结合F=BIL可知两根棒中受到的安培力大小相等，方向相反，二者在水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v₀=（m₁+m₂）v，由于两棒的质量不一定相等，则速度v不一定等于0.5v₀．故A错误；
B、若轨道光滑，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力作用，ab将开始做加速运动，电路中产生感应电流，根据楞次定律可知，ab受到的安培力的方向向后，cd受到的安培力的方向向前；
开始时ab的速度比较小，则电路中的电流比较小，ab受到的安培力小于拉力F，所以ab向右做加速运动，加速度满足：m₁a₁=F-BIL
电路中由感应电流后cd也向右做加速运动，加速度满足：BIL=m₂a₂
开始时ab的加速度比较大，cd的加速度比较小，二者之间的速度差逐渐增大，则电路中的电动势与电流都逐渐增大，此时二者之间的加速度的差逐渐减小，当它们的加速度相等时，二者之间的速度差最大，此时：F-2BIL=（m₁+m₂）a，两者一起做匀加速直线运动，同时满足：I=$\frac{BL（{v}_{ab}-{v}_{cd}）}{R}$，速度差恒定，故B正确．
C、若轨道粗糙，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力作用，设两根棒与轨道之间的摩擦力都是f；
若F＜f，则都静止不动；
若2f＞F＞f，故棒ab由静止开始作加速运动，棒ab中将出现不断变大的感应电流，致使cd也会受到安培力F′作用，当F′＜f 时，cd保持不动；
当F′＞f时，cd棒也开始运动．由以上的分析可知，若轨道粗糙，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力作用，不一定最终二者一定做匀加速运动，且速度差恒定．故C错误；
D、若将cd换成固定于MN、PQ间的一电容器，且轨道光滑，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力F，设金属棒做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律：a=$\frac{F-BIL}{m}$，电流的定义式：I=$\frac{△q}{△t}$，电容器上的带电量：△q=CU
根据法拉第电磁感应定律：U=BL△v
整理以上式子得：
I=$\frac{CBL△v}{△t}$=CBLa，
所以有：a=$\frac{F}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$．可知假设正确，给ab施加一个垂直于ab的恒定外力，最终ab一定做匀加速直线运动．故D正确．
故选：BD．

点评 考查由受力情况，去分析运动情况，并掌握牛顿第二定律与安培力表达式的内容，注意两棒运动时都切割，最终产生的感应电动势是两棒产生的感应电动势之差．