Question

17．如图所示，水平放置的光滑绝缘杆上B点的正上方O点固定一个带电量为Q=+6.0×10^-8C的点电荷，BO相距h=0.24m，B点左侧的A点处套有一个带电量为q=-5.0×10^-9C、质量为m=2.0×10^-4kg带电小圆环，已知∠OAB=37°．C为杆上B点右侧的另一点，∠OCB=53°．已知由点电荷+Q产生的电场中，距离该点电荷为r处的电势为φ=k$\frac{Q}{r}$，其中k为静电力恒量，k=9.0×10⁹N×m²/C²．（sin37°=0.6，sin53°=0.8）．试问：
（1）点电荷Q在A、C三点产生的电势φ_A、φ_C分别多大？
（2）将带电小圆环从A点由静止释放，它到达C点时速度多大？
（3）若将圆环带电量改为q′=+1.0×10^-8C，并给其一个指向C点的初速度，则初速度v₀至少多大才能使其到达C点？

Answer 1

分析 （1）由数学知识得到A、B、C三点到Q点电荷的距离r，由$φ=k\frac{Q}{r}$求出三点的电势．
（2）带电小圆环从A点到C点的过程中，电场力做功qU_AC=q（φ_A-φ_C），其他力不做功，根据动能定理求解到达C点时速度．
（3）圆环改为带正电后，沿杆向右运动时先要克服电场力做功到达B点，然后电场力做正功使其到达C点，圆环至少要能到达B点，即到达B点时速度应等于零，根据动能定理研究圆环从A到B的过程，求解初速度．

解答 解：（1）根据题给公式$φ=k\frac{Q}{r}$，有
${φ_A}=k\frac{Q}{{\frac{h}{{sin{{37}°}}}}}=k\frac{{Qsin{{37}°}}}{h}=9.0×{10^9}×\frac{{6.0×{{10}^{-8}}×0.6}}{0.24}V=1350V$

${φ_C}=k\frac{Q}{{\frac{h}{{sin{{53}°}}}}}=k\frac{{Qsin{{53}°}}}{h}=9.0×{10^9}×\frac{{6.0×{{10}^{-8}}×0.8}}{0.24}V=1800V$
（2）设圆环到达C点时速度为v_C，根据动能定理，有
  $q{U_{AC}}=\frac{1}{2}m{v_C}^2$
即$q（{{φ_A}-{φ_C}}）=\frac{1}{2}m{v_C}^2$
得${v_C}=\sqrt{\frac{{2q（{{φ_A}-{φ_C}}）}}{m}}=\sqrt{\frac{{2×（{-5.0×{{10}^{-9}}}）（{1350-1800}）}}{{2.0×{{10}^{-4}}}}}m/s=0.15m/s$
（3）圆环改为带正电后，沿杆向右运动时先要克服电场力做功到达B点，然后电场力做正功使其到达C点，所以对圆环初速度v₀的要求是至少要能到达B点，即到达B点时速度应等于零．
B点的电势：${φ_B}=k\frac{Q}{h}=9.0×{10^9}×\frac{{6.0×{{10}^{-8}}}}{0.24}V=2250V$
根据动能定理，有$q'{U_{AB}}=0-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
即$q'（{{φ_B}-{φ_A}}）=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
${v_B}=\sqrt{\frac{{2q'（{{φ_B}-{φ_A}}）}}{m}}=\sqrt{\frac{{2×1.0×{{10}^{-8}}×（{2250-1350}）}}{{2.0×{{10}^{-4}}}}}m/s=0.30m/s$
所以初速度v₀至少为0.30m/s才能使其到达C点．
答：（1）点电荷Q在A、B、C三点产生的电势φ_A、φ_C分别是1350V和1800V．
（2）将带电小圆环从A点由静止释放，它到达C点时速度是0.15m/s．
（3）若将圆环带电量改为qˊ=+1.0×10^-8C，初速度v₀至少为0.30m/s才能使其到达C点．

点评 本题是信息题，要抓住题给的公式$φ=k\frac{Q}{r}$求解电势，可确定电势差，求出电场力做功．第3问，要注意分析临界条件．