Question

9．如图所示，一平整木板上表面与水平面XOZ面重合，木板上竖直固定着两块正对的金属板AB和一光滑的竖直半圆形绝缘挡板MN，B板上开有小孔P，且AB板上带有等量的异种电荷，两板间的电压U=$\frac{650}{3}$V，间距d=0.5m，竖直挡板的N端与X轴相切，挡板的半径r=$\frac{6}{π}$m，现有一带负电的小球a，质量为m=0.1kg，电量为q=6×10^-3C，在靠近A板处由静止释放，小球沿木板运动穿过小孔P后，恰能从M点无碰撞地沿挡板MN运动，PM=3.5m，小球与木板间的摩擦因数μ=0.1（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），则：
（1）B板带什么电和小球通过P点时的速度为多大？
（2）小球在N点时受到挡板的弹力为多大？（结果可以含π）
（3）小球运动到X轴上的Q点时速度为2m/s，立即加一竖直向下的匀强电场和一垂直于XOY平面向里的匀强磁场，电场强度为E=$\frac{1}{6}$×10³N/C，磁感应强度B=$\frac{100}{9}$T，某时刻从Y轴上沿X轴正向平抛一不带电的小球b，当b的偏转角θ=37°时与a球发生正碰（碰时速度在一条直线上）．求小球b抛出时的初速度和坐标位置．

Answer 1

分析 （1）由电场力的特点判断出B极板的电性；由动能定理即可计算出小球到达P点的速度；
（2）小球由A到N的过程中电场力与摩擦力做功，由动能定理即可求出小球到达N点的速度，然后结合牛顿第二定律即可求出小球在N点受到的弹力；
（3）小球A在竖直平面内做匀速圆周运动，小球B做平抛运动，将运动分解，即可求出．

解答 解：（1）在电场中，带负电的小球从A向B运动，受到的电场力的方向从A指向B，所以电场的方向从B指向A，所以B板带正电．
小球从A向B运动的过程中，电场力与摩擦力做功，得：
$qU-μmgd=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-0$
代入数据得：v_P=5m/s
（2）小球a从P到N的过程中，只有摩擦力做功，由动能定理得：
$-μmg（\overline{PM}+πr）=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
代入数据得：${v}_{N}=\sqrt{6}$m/s
小球a在N点时受到的弹力提供向心力则：${F}_{N}=\frac{m{v}_{N}^{2}}{r}=\frac{0.1×6}{\frac{6}{π}}=0.1π$（N）
（3）设Q到N点的距离是s则：$-μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$
代入数据得：s=1（m）
小球a在Q点受到的电场力：${F}_{1}=qE=6×1{0}^{-3}×\frac{1}{6}×1{0}^{3}=1$N，方向向上；
小球a受到的重力：G=mg=0.1×10=1N，方向向下；
所以小球a从Q点开始，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：
$qvB=\frac{m{v}_{Q}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{m{v}_{Q}}{qB}=\frac{0.1×2}{6×1{0}^{-3}×\frac{100}{9}}=3$m
小球a 做匀速圆周运动的周期：$T=\frac{2πR}{{v}_{Q}}=\frac{2π×3}{2}=3π$（s）
当b的偏转角θ=37°时在I点与a球发生正碰，

此时a球的偏转角也是37°，所以碰撞点I的高度：
h₁=R（1-cos37°）=3×（1-0.8）=0.6m
设小球B的初速度为v₀，运动的时间为t，则小球b在I点的竖直方向的分速度：
v_y=gt
小球b的偏转角是37°，则：$tan37°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
小球b在水平方向的位移：x=$\overline{OQ}=\overline{ON}-\overline{NQ}=\overline{AM}-\overline{NQ}=3$m
而：x=v₀t；$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$'联立以上方程得：
${v}_{0}=2\sqrt{10}$m/s，${h}_{2}=\frac{9}{8}$m
所以，小球b抛出点的高度：H=h₁+h₂=0.6+$\frac{9}{8}$=1.725m
答：（1）B板带正电，小球通过P点时的速度为5m/s；
（2）小球在N点时受到的弹力为0.1π N；
（3）小球b抛出时的初速度是$2\sqrt{10}$m/s，坐标位置是（0，1.725m）．

点评 该题属于多物体、多过程的情况，小球A经历了三个不同的过程，而小球B经历了平抛运动的过程，要理清运动的过程之间的关系，然后才能正确解答．