Question

11．如图甲所示，固定轨道由倾角为θ的斜导轨与水平导轨用极短的圆弧导轨平滑连接而成，轨道所在空间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两导轨间距为L，上端用阻值为R的电阻连接．在沿斜导轨向下的拉力（图中未画出）作用下，一质量为m，电阻也为R的金属杆MN从斜导轨上某一高度处由静止开始（t=0）沿光滑的斜导轨匀加速下滑，当杆MN滑至斜轨道的最低端P₂Q₂处时撤去拉力，杆MN在粗糙的水平导轨上减速运动直至停止，其速率v随时间t的变化关系如图乙所示（其中v_m和t₀为已知）．杆MN始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触，水平导轨和杆MN动摩擦因数为μ．求：
（1）杆MN中通过的最大感应电流I_m；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的过程中，通过电阻R的电荷量q；
（3）撤去拉力后，若R上产生的热量为Q，求杆MN在水平导轨上运动的路程s．

Answer 1

分析 （1）判断速度最大位置，由法拉第电磁感应定律结合闭合电路欧姆定律可求杆MN中通过的最大感应电流I_m；
（2）由法拉第电磁感应定律和电流的定义可求通过电阻R的电荷量q；
（3）由功能关系和动能定理联立可求杆MN在水平导轨上运动的路程．

解答 解：（1）经分析可知，杆MN下滑到P₂Q₂处时的速度最大（设为v_m），此时回路中产生的感应电动势最大，且最大值为：E_m=BLv_m
此时回路中通过的感应电流最大，有：I_m=$\frac{{E}_{m}}{2R}$
解得：I_m=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$
（2）杆MN沿斜导轨下滑的距离为：x=$\frac{{v}_{m}}{2}•{t}_{0}$
在杆MN沿斜导轨下滑的过程中，穿过回路的磁通量的变化为：△Ф=BLxcos θ
该过程，回路中产生的平均感应电动势为：$\overline{E}=\frac{△Φ}{{t}_{0}-0}$
回路中通过的平均感应电流为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$
又根据电流定义可得：q=$\overline{I}$t0
解得：q=$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{4R}$
（3）撤去拉力后，整个回路产生的热量为：Q=$\frac{R}{R+R}$Q_总
由功能关系可知：W_安克=Q_总
对杆由动能定理得：-μmgs-W_安克=0-$\frac{1}{2}$mv_m²
联立解得：s=$\frac{m{v}_{m}^{2}-4Q}{2μmg}$．
答：（1）杆MN中通过的最大感应电流为$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的过程中，通过电阻R的电荷量为$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{4R}$；
（3）杆MN在水平导轨上运动的路程为$\frac{m{v}_{m}^{2}-4Q}{2μmg}$．

点评 电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合，是高中知识的重点，结合图象找出速度最大时感应电流最大，是该题的解题关键．