Question

（15分）如图所示，是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道CD部分粗糙，μ=0.1，其余均光滑。第一个圆管轨道的半径R=4m，第二个圆管轨道的半径r=3.6m。一挑战者质量m=60kg，沿斜面轨道滑下，滑入第一个圆管形轨道（假设转折处无能量损失），挑战者到达A、B两处最高点时刚好对管壁无压力，然后从平台上飞入水池内，水面离轨道的距离h=1m。g取10 m/s²，管的内径忽略不计，人可视为质点。

求：（1）挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道多高的地方开始下滑?（2）CD部分的长度是多少?（3）挑战者入水时速度的大小和方向?

Answer 1

⑴ 10m ⑵64m ⑶ 16 m/s 与水面的夹角θ=arctan5/8

试题分析：（1）（4分）在A点无压力，则 mg=mv_A²/R    （1分）
设从离水平轨道高为H处开始下滑，从静止开始到A由动能定理得
mgH=mg·2R+ mv_A²/2      （2分）解得H=10m      （1分）
（2）（7分）从开始下滑到C点，由动能定理得mgH=mv_C²/2      （1分）
在B点无压力，则 mg=mv_B²/r        （1分）
从D点到B点，由动能定理得mv_D²/2=mg·2r+ mv_B²/2      （2分）
从C点到D点，由动能定理得-μmgS_CD=mv_D²/2- mv_C²/2        （2分）
解得 S_CD=64m        （1分）
（3）（5分）设落水点为E，落水时，竖直方向v_y²=2gh  （1分）
解得 v_y="10m/s" （1分）
水平方向速度大小为v_D不变。
解得得v_E≈16 m/s。（1分）
设方向与水面成θ，所以tanθ=v_y/v_D=5/8。  （1分）
解得θ=arctan5/8   （1分）