Question

16．如图所示，两条平行的金属导轨相距L=lm，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN和PQ的质量均为m=0.2kg，电阻分别为R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由静止开始以a=1m/s²的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F₂作用下保持静止状态．t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）t=0～3s时间内通过MN棒的电荷量；
（3）求t=6s时F₂的大小和方向；
（4）若改变F₁的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移s满足关系：v=0.4s，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到s=5m的过程中，系统产生的热量．

Answer 1

分析 （1）根据3s时PQ棒消耗的功率求出电路中的电流，结合闭合电路欧姆定律求出电动势，根据切割产生的感应电动势公式以及3s末MN棒的速度求出磁感应强度的大小．
（2）根据法拉第电磁感应定律以及闭合电路欧姆定律，结合电流的定义式求出通过MN棒的电荷量．
（3）根据速度时间公式求出6s末MN棒的速度，结合切割产生的感应电动势公式和闭合电路欧姆定律求出感应电流，对PQ棒分析，根据共点力平衡，结合安培力的大小求出F₂的大小和方向．
（4）抓住安培力与速度成正比得出安培力与位移成正比，结合平均安培力的大小，求出克服安培力做功，从而得出系统产生的热量．

解答 解：（1）3s末MN棒的速度为：v₁=at₁=1×3m/s=3m/s，
切割产生的感应电动势为：E=BLv₁，
根据欧姆定律得：E=I（R_MN+R_PQ），
又P=I²R_PQ．
代入数据得：B=2T．              
（2）根据法拉第电磁感应定律得：$\overline{E}=\frac{△φ}{△t}$，
则电荷量为：$q=\frac{\overline E}{{（{R_{MN}}+{R_{PQ}}）}}△t=\frac{△φ}{{（{R_{MN}}+{R_{PQ}}）}}$，
代入数据可得：q=3C．
（3）6s时MN棒的速度为：v₂=at₂=1×6m/s=6m/s，
产生的感应电动势为：E=BLv₂=2×1×6V=12V，
电路中的电流为：${I_2}=\frac{E}{{（{R_{MN}}+{R_{PQ}}）}}=4A$，
则PQ棒所受的安培力为：F_安=BI₂L=2×4×1N=8N．
规定沿斜面向上为正方向，对PQ进行受力分析可得：${F_2}+{F_安}cos{37^0}=mgsin{37^0}$，
代入数据：F₂=-5.2N  （负号说明力的方向沿斜面向下）．
（4）MN棒做变加速直线运动，当s=5m时，v_t=0.4s=0.4×5m/s=2m/s，
因为速度v与位移s成正比，所以电流I、安培力也与位移s成正比，
安培力做功为：W_安=$-\frac{1}{2}•BL\frac{BL{v}_{t}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}•s$=$-\frac{1}{2}×2×1×\frac{2×1×2}{3}×5J=-\frac{20}{3}J$，-
则系统产生的热量为：$Q=-{W_安}=\frac{20}{3}J$．
答：（1）1）磁感应强度B的大小为2T；
（2）t=0～3s时间内通过MN棒的电荷量为3C；
（3）t=6s时F₂的大小为5.2N，方向沿斜面向下；
（4）系统产生的热量为$\frac{20}{3}J$．

点评 本题是双杆类型，分别研究它们的情况是基础，运用力学和电路、电磁感应的规律研究MN棒，其中对于感应电荷量，要熟悉一般表达式q=$n\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，知道△φ与棒的位移有关．对于功，动能定理是常用的求解方法，本题关键要抓住安培力与位移是线性关系，安培力的平均值等于初末时刻的平均值