Question

15．如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一光滑的半圆形轨道，轨道半径为R，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力，重力加速度为g，问：
（1）小球在最高点的速度为多大？
（2）小球落地时，距最高点的水平位移是多少？
（3）小球落地时速度为多大？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律及向心力公式可求得小球在最高点的速度；
（2）由平抛运动规律可求得小球落地时的水平位移；
（3）由动能定理可求得小球在最低点的速度；再由向心力公式可求得小球对轨道的压力．

解答 解：（1）根据牛顿第三定律，小球到达轨道最高点时受到轨道的支持力等于小球对轨道的压力，则：N₁=mg
小球在最高点时，有：N₁+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得小球在最高点的速度大小为：v=$\sqrt{2gR}$；
（2）小球离开轨道平面做平抛运动：h=2R=$\frac{1}{2}$gt²
即平抛运动时间：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
所以小球落地时与A点的距离：x=vt=$\sqrt{2gR}$×2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=2$\sqrt{2R}$
（3）小球从轨道最低点到最高点，由动能定理得：
2mgR=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv²
解得：v'=$\sqrt{6gR}$；
答：（1）小球在最高点的速度大小为$\sqrt{2gR}$
（2）小球落地时，距最高点的水平位移是2$\sqrt{2R}$；
（3）小球落地时速度为为$\sqrt{6gR}$

点评 本题考查平抛、动能定理及向心力公式的应用，要注意正确应用向心力公式，并能利用牛顿第二定律列式求解．