Question

20．如图所示，固定于水平桌面上的金属框架edcf，处于竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab在框架上可无摩擦滑动，此时abcd构成一个边长为L的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计，开始时磁感应强度为B₀．
（1）若从t=0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒钟增量为k，同时保持棒静止，求棒中的感应电流．在图上标出感应电流方向．
（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t₁秒时，需加在垂直于棒的水平拉力为多大？
（3）若从t=0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流．则磁感应强度怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？

Answer 1

分析 （1）由题得：磁感应强度B的变化率$\frac{△B}{△t}$=kT/s，根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势大小，再由欧姆定律求出感应电流的大小，由楞次定律判断其方向．
（2）磁感应强度B的表达式为B=B₀+kt，由安培力公式F=BIL求出安培力，则由平衡条件得知，水平拉力与安培力大小相等．
（3）要使棒不产生感应电流，穿过回路的磁通量应保持不变，根据t=0时刻，回路中磁通量为B₀L²，t时刻磁感应强度为B，此时回路中磁通量为BL（L+vt），BL（L+vt）=B₀L² 时，则无感应电流产生

解答 解：（1）电流方向adcba方向，如图．
感应电动势E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=kS=kL²
感应电流I=$\frac{E}{r}$=$\frac{k{L}^{2}}{r}$
（2）t=t₁时，磁感应强度B₁=B₀+kt₁
外力大小F=F_B=（B₀+kt₁）$\frac{k{L}^{3}}{r}$．
（3）要使棒不产生感应电流，即要回路abcd中磁通量不变．
即BL（L+vt）=B₀L²，
B=$\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$
答：
（1）棒中的感应电流大小为$\frac{k{L}^{2}}{r}$，感应电流的方向为逆时针；
（2）棒始终保持静止，t=t₁秒时需加的垂直于水平拉力为（B₀+kt₁）$\frac{k{L}^{3}}{r}$．
（3）磁感应强度B的表达式为B=$\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$．

点评 本题根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势，由欧姆定律和安培力公式推导安培力的表达式，是常用的方法和思路．当回路中没有感应电流产生时，回路总的磁通量应保持不变．