Question

一绝缘“?”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆PQ、MN和一半径为R的光滑半圆环MAP组成，固定在竖直平面内，其中MN杆是光滑的，PQ杆是粗糙的．现将一质量为m的带正电荷的小环套在MN杆上，小环所受的电场力为重力的

1

2

．
（1）若将小环由D点静止释放，则刚好能到达P点，求DM间的距离．
（2）若将小环由M点右侧5R处静止释放，设小环与PQ杆间的动摩擦因数为μ，小环所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）小球刚好到达P点时，速度为零，对小球从D点到P点过程，运用动能定理列式求解x．
（2）由题意，小球所受的电场力为重力的

1

2

，μ≥

1

2

，μmg≥qE．小球能到达P点左侧，设小球到达P点左侧s₁静止，运用动能定理列式求解s₁，整个运动过程中克服摩擦力所做的功W=μmgs₁．

解答：解：（1）小球刚好到达P点时，速度为零，对小球从D点到P点过程，由动能定理得
  qEx-2mgR=0-0
又由题意，qE=

1

2

mg
联立解得，x=4R
（2）若μ≥

1

2

，则μmg≥qE．
设小球到达P点左侧s₁静止，由动能定理得
  qE（5R-s₁）-mg?2R-fs₁=0
又f=μN=μmg
联立解得，s1=

R

1+2μ

所以整个运动过程中克服摩擦力所做的功为 W₁=μmgs₁=

μmgR

1+2μ

若μ＜

1

2

，则μmg＜qE．
设小球到达经过多次的往复运动，最后在P点的速度为0，
根据动能定理：qE?5R-mg?2R-W₂=0-0
克服摩擦力做的功：W2=

1

2

mgR
答：（1）DM间的距离是4R．
（2）整个运动过程中克服摩擦力所做的功为两种情况：若μ≥

1

2

，则W1=

μmgR

1+2μ

；若μ＜

1

2

，则W2=

1

2

mgR．

点评：对于动能定理应用，要灵活选取研究过程，结合临界条件进行研究是常用的思路．