Question

如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面 上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C。一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板，滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C的距离L在R＜L＜5R范围内取值，E距A为s=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度取g。
(1)求物块滑到B点的速度大小。
(2)试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点。

Answer 1

解：(1)物块先做匀加速直线运动，滑动摩擦力做正功，到A点时恰好与传送带的速度相等，然后沿光滑的半圆滑下来。设物块滑到B点时的速度为v_B，对物块运动的整个过程由能量关系有：

解得：
(2)假设物块和滑板能够达到共同的速度，设为v_共，以物块和滑板组成的系统为研究对象，由动量守恒定律：mv_B=(M+m)v_共
设物块在滑板上的相对位移为△s，由能量守恒定律有：μmg△s=v_共²
由以上两式得：△s=6R<6.5R，所以滑块没有掉下来
设这个过程中滑板前进的位移为s，以滑板为研究对象，由动能定理得：v_共²
解得：s=2R
物块的对地位移：s₁=2R+△s=8R
当2R≤L<5R时，滑块先做匀减速运动，再做匀速运动，滑板碰撞静止后，物块再做匀减速运动，滑上C点，再沿圆周运动
由动能定理：
解得：，所以滑块不能滑到CD轨道的中点

当R＜L＜2R时，滑块先做匀减速运动，在没有和滑板达到共同速度之前，滑板碰撞静止，滑块仍然向前滑动，到C点，然后滑上轨道。若恰好能上升到中点，则应满足-μmg(L+6.5R)-mgh=
解得：L=0.5R
L越小越容易上到中点，但R＜2L＜2R，故物块不能上升到CD轨道的中点
W_f=μng(L+6.5R)