Question

10．如图所示，在坐标系xoy平面内，在x=0和x=L之间的区域中分布着垂直纸面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁场的下边界PQ与x轴负方向成45°，磁感应强度大小为B，电场的上边界为x轴，电场强度大小为E，一束包含着各种速率的比荷为$\frac{q}{m}$的粒子从Q点垂直y轴射入磁场，一部分粒子通过磁场偏转后从边界PQ射出，进入电场区域，带电粒子重力不计．求：
（1）能够从PQ边界射出磁场的粒子的最大速率
（2）若一粒子恰从PQ的中点射出磁场，求该粒子射出电场时的位置坐标和粒子从Q点射入磁场到射出电场的过程中所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出粒子的最大轨道半径，然后由牛顿第二定律求出粒子的最大速度．
（2）由牛顿第二定律求出粒子的速度，粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动知识求出粒子射出电场时的坐标．然后求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）由几何知识可知，粒子的最大轨道半径：R=L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得粒子最大速度为：v=$\frac{qBL}{m}$；
（2）粒子恰好从PQ的中点射出磁场，由几何知识得，粒子轨道半径：r=$\frac{1}{2}$L，
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
解得：v′=$\frac{qBr}{m}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在磁场中的运动时间：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子离开磁场进入电场的运动时间：t₂=$\frac{L}{2v′}$，
粒子在电场中做类平抛运动，加速度为：
a=$\frac{qE}{m}$，L=$\frac{1}{2}$at₃²，y=v′t₃，
解得：y=$\frac{BL}{2}$$\sqrt{\frac{qL}{mE}}$，
则射出点的坐标为：（0，-$\frac{BL}{2}$$\sqrt{\frac{qL}{mE}}$），
粒子从Q点射入磁场到离开电场的时间：t=t₁+t₂+t₃，
解得：t=（$\frac{π}{2}$+1）$\frac{m}{qB}$+$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．
答：（1）能够从PQ边界射出磁场的粒子的最大速率为；
（2）若一粒子恰从PQ的中点射出磁场，该粒子射出电场时的位置坐标为（0，-$\frac{BL}{2}$$\sqrt{\frac{qL}{mE}}$），
粒子从Q点射入磁场到射出电场的过程中所经历的时间为（$\frac{π}{2}$+1）$\frac{m}{qB}$+$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、应用牛顿第二定律与类平抛运动规律即可正确解题．