Question

4．如图所示，正方形单匝均匀线框abcd，边长L=0.4m，每边电阻相等，总电阻R=0.5Ω．一根足够长的绝缘轻质细线跨过两个轻质光滑定滑轮，一端连接正方形线框，另一端连接绝缘物体P，物体P放在一个光滑的足够长的固定斜面上，斜面倾角θ=30°，斜面上方的细线与斜面平行．在正方形线框正下方有一有界的匀强磁场，上边界I和下边界II都水平，两边界之间距离也是L=0.4m．磁场方向水平，垂直纸面向里，磁感应强度大小B=0.5T．现让正方形线框的cd边距上边界I的正上方高度h=0.9m的位置由静止释放，且线框在运动过程中始终与磁场垂直，cd边始终保持水平，物体P始终在斜面上运动，线框刚好能以v=3m/s的速度进入匀强磁场并匀速通过匀强磁场区域．释放前细线绷紧，重力加速度 g=10m/s²，不计空气阻力．
（1）线框的cd边在匀强磁场中运动的过程中，c、d间的电压是多大？
（2）线框的质量m₁和物体P的质量m₂分别是多大？
（3）在cd边刚进入磁场时，给线框施加一个竖直向下的拉力F使线框以进入磁场前的加速度匀加速通过磁场区域，在此过程中，力F做功w=0.4J，求正方形线框cd边产生的焦耳热是多少？

Answer 1

分析 （1）线框进入磁场切割磁感线运动由E=BLv可求得电动势，由闭合电路可求得进入磁场和出磁场时c、d间的电压U_cd；
（2）由平衡条件可求得线框的质量m₁和物体P的质量m₂；
（3）因为线框在磁场中运动的加速度与进入前的加速度相同，所以在通过磁场区域的过程中，线框和物体P的总机械能保持不变，故力F做功W等于整个线框中产生的焦耳热Q，在由闭合电路可求得进入磁场和出磁场时cd产生的热量．

解答 解：（1）正方形线框匀速通过匀强磁场区域的过程中，设cd边上的感应电动势为E，线框中的电流强度为I，c、d间的电压为U_cd，则
根据法拉第电磁感应定律可得：E=BLv
由欧姆定律可得：I=$\frac{E}{R}$
c、d间的电压为：U_cd=$\frac{3}{4}E$，
解得U_cd=0.45V；
（2）正方形线框匀速通过磁场区域的过程中，设受到的安培力为F，细线上的张力为T，则：
根据安培力计算公式可得：F=BIL
对P根据平衡条件可得：T=m₂gsinθ
对线框根据平衡条件可得：m₁g=T+F
正方形线框在进入磁场之前的运动过程中，根据能量守恒，则
m₁gh-m₂ghsinθ=$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
解得m₁=0.032kg，m₂=0.016kg；
（3）因为线框在磁场中运动的加速度与进入前的加速度相同（只受重力），所以在通过磁场区域的过程中，线框和物体P的总机械能保持不变，
故力F做功W等于整个线框中产生的焦耳热Q，即：W=Q=0.4J；  
设线框cd边产生的焦耳热为Q_cd，根据Q=I²Rt得：
Q_cd=$\frac{1}{4}$Q=0.1J．
答：（1）线框的cd边在匀强磁场中运动的过程中，c、d间的电压是0.45V
（2）线框的质量m₁和物体P的质量m₂分别是m₁=0.032kg，m₂=0.016kg 
（3）正方形线框cd边产生的焦耳热是0.1J

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．