Question

为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0 m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的，其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个小物块以初速度v₀=4.0 m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.50。（g取10 m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80）
(1)要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？
(2)a．为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
b．按照“a”的要求，小物块进入轨道后可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0.01 m的某一点。

Answer 1

解：(1)小物块做平抛运动，经时间t到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度为v_x，竖直分速度为v_y


物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μF_N=μmgcos37°
设物块进入圆轨道到最高点时有最小速度v₁，此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时半径为R₀

物块从抛出到圆轨道摄高点的过程中
联立上式，解得：R₀=0.66 m
若物块从水平轨道DE滑出，圆弧轨道的半径有：R₁≤0.66 m
(2)a．为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则物块上升的高度须小于或等于R'₀
 
解得R'₀=1.65 m
物块能够滑回倾斜轨道AB，则R₂≥1.65 m
b．物块冲上圆轨道H₁=1.65 m高度时速度变为0，然后返回倾斜轨道h₁高处再滑下，然后再次进入圆轨道达到的高度为H₂。有


得
之后物块在竖直圆轨道和倾斜轨道之间往返运动，同理：n次上升的高度(n>0)为一等比数列
当n=5时，上升的最大高度小于0.01 m，则物块共有8次通过距水平轨道高为0.01 m的某一点