Question

11．如图所示，在xOy平面内，0＜x＜2L的区域内有一方向竖直向上的匀强电场，2L＜x＜3L的区域内有一方向竖直向下的匀强电场，两电场强度大小相等．x＞3L的区域内有一方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．某时刻，一带正电的粒子从坐标原点以沿x轴正方向的初速度v₀进入电场；之后的另一时刻，一带负电粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场．正、负粒子从电场进入磁场时速度方向与电场和磁场边界的夹角分别为60°和30°，两粒子在磁场中分别运动半周后在某点相遇．已经两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用都可忽略不计，两粒子带电量大小相等．求：
（1）正、负粒子的质量之比m₁：m₂；
（2）两粒子相遇的位置P点的坐标；
（3）两粒子先后进入电场的时间差．

Answer 1

分析 （1）可以从粒子进入磁场的方向出发，由竖直速度大小由初速度表示出来，而此速度是由第一电场的加速和第二电场的减速而得，结合牛顿第二定律能求出质量之比．
（2）先画出两个粒子相遇的轨迹图，相遇是两个粒子在转动半周后相碰的，那么进入的两点与相遇点构成一个直角三角形，先求出粒子进入磁场前的纵坐标，由几何关系就能求出相遇点P的坐标．
（3）由于两粒子在电场中运动时间相同，所以进入电场时间差即为在磁场中从开始到相遇的时间差，由周期公式求出两个粒子转半周的时间差，就是粒子进入电场的时间差．

解答 解：（1）设粒子初速度为v₀，进磁场方向与边界的夹角为θ．
${v_y}=\frac{v_0}{tanθ}$…①
记$t=\frac{L}{v_0}$，则粒子在第一个电场运动的时间为2t，在第二个电场运动的时间为t  则：
v_y=a×2t-at…②
qE=ma…③
由①②③得：$m=\frac{qEt}{v_0}tanθ$
所以$\frac{m_1}{m_2}=\frac{{tan{{60}°}}}{{tan{{30}°}}}=\frac{3}{1}$   
（2）正粒子在电场运动的总时间为3t，则：
  第一个t的竖直位移为$\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$
  第二个t的竖直位移为$\frac{1}{2}{a_1}{（2t）^2}-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{3}{2}{a_1}{t^2}$
  由对称性，第三个t的竖直位移为$\frac{3}{2}{a_1}{t^2}$
  所以${y_1}=\frac{7}{2}{a_1}{t^2}$  
  结合①②得${y_1}=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}L$
  同理${y_2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{2}L$   
  由几何关系，P点的坐标为：x_P=3L+（y₁+y₂）sin30°sin60°=6.5L
   ${y_P}=-[{y_2}-（{y_1}+{y_2}）sin{30°}cos{60°}]=-\frac{{7\sqrt{3}}}{3}L$
（3）设两粒子在磁场中运动半径为r₁、r₂
   由几何关系2r₁=（y₁+y₂）sin60°
                    2r₂=（y₁+y₂）sin30°
  两粒子在磁场中运动时间均为半个周期：
        ${t_1}=\frac{{π{r_1}}}{v_1}$
         ${t_2}=\frac{{π{r_2}}}{v_2}$
   v₀=v₁sin60°
   v₀=v₂sin30°
  由于两粒子在电场中运动时间相同，所以进电场时间差即为磁场中相遇前的时间差△t=t₁-t₂
    解得$△t=\frac{{7\sqrt{3}πL}}{{6{v_0}}}$
答：（1）正、负粒子的质量之比为3：1．
（2）两粒子相遇的位置P点的坐标为（6.5L，$-\frac{7\sqrt{3}}{3}L$ ）．
（3）两粒子先后进入电场的时间差为$\frac{7\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$．

点评 本题虽没有告诉电场和磁场的相关物理量，只从运动学角度告诉进入磁场的方向，以及两粒子恰恰在磁场中均转过半圈相遇于P点，所以要假定事先假定一些参数，最后再消去这些参数．要注意的是由于水平方向不受力，粒子水平方向做匀速直线运动，由于竖直方向是方向相反的两块电场，则竖直方向先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动，表示出各自的竖直末速度，再由角度的关系，求出末速度关系，竖直位移等，最后得到所求．