Question

如图所示为水平面内的两条相互平行的光滑金属导轨，电阻可以忽略不计，轨道间距为l。导轨所处水平面内存在着竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体杆a和b垂直于导轨放置，它们的质量分别为m和2m，电阻分别为r和2r。现给导体杆a一沿导轨方向的初速度v₀，若两杆始终都只能沿导轨方向运动，且除匀强磁场外其他磁场不计，试求：当杆a的速度减为v₀/2时
(1)两导体杆的加速度分别为多大？
(2)两杆上分别产生了多少焦耳热？
(3)已经有多少电量流过了杆a？两导体杆间距相比最初增加了多少？

Answer 1

(1)根据楞次定律，a杆受向左的安培力向右作减速运动，b杆受向右的安培力向右作加速运动，两杆受力等大反向，因此两杆系统动量守恒。当a杆的速度为v₁=v₀/2时，b杆的速度设为v₂，有
mv₁+2mv₂=mv₀                   (2 分)
可得v₂= v₀/4
根据感应电动势规律可得此时两杆电动势
E₁=Blv₁=Blv₀
E₂=Blv₂=Blv₀
根据闭合回路欧姆定律，回路电路为

I=
根据安培力性质，两杆所受安培力大小为
F=BIl=                   (2分)
根据牛顿第二定律，两杆加速度大小分别为
a₁==，a₂==  (2分)
(2)由于两杆的动能通过电磁感应转化为电能且由焦耳热方式放出，根据能量守恒，电路放出内能
Q==     (2分)
因为两杆电流在任意时刻都相等，所以两杆发热量与电阻成正比，两杆分别产生热量
Q₁==
Q₂==                          (1分)
(3)由安培力性质，杆受到的安培力
F=BIl
在一段很短的时间Δt内，由于电流可看做稳定，安培力产生冲量
Δτ="FΔt=BlΔq              " (2分)
其中Δq为时间Δt内通过电路的电量，因为B、l都不变，所以即使在较长时间内此式结果仍成立。
又根据动量定理，a杆受到的安培力冲量大小为
τ=mv₀-mv₁=
所以通过a杆的总电量
q==                (1分)
由法拉第电磁感应定律，电路中的总电动势
E=
其中ΔS为电路面积的变化量，Δt为一段很短的时间
由闭合回路欧姆定律，电路中电流
I=
由电流与电量关系
Δq=IΔt
根据以上三式可得
Δq=               (2分)
因为B、r都不变，所以此式在一段较长时间内仍成立，因此电路面积增加量为
S=
两杆间距增加
x=              (1分)

略