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5.如图所示,竖直平面内有一半径为r、内阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属球,在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接,EF之间接有电阻R2,已知R1=12R,R2=4R.在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II,磁感应强度大小均为B.现有质量为m、电阻不计的导体棒ab,从半圆环的最高点A处由静止下落,在下落过程中导体棒始终保持水平,与半圆形金属环及轨道接触良好,高平行轨道中够长.已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v1,下落到MN处的速度大小为v2
(1)求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小.
(2)若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变,求磁场I和II之间的距离h和R2上的电功率P2
(3)若将磁场II的CD边界略微下移,导体棒ab刚进入磁场II时速度大小为v3,要使其在外力F作用下做匀加速直线运动,加速度大小为a,求所加外力F随时间变化的关系式.

分析 (1)导体棒受到重力和安培力的作用,注意此时导体棒的有效切割长度和外电路的串并联情况.
(2)导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变,说明导体棒匀速运动,导体棒在下落h的过程中做匀变速直线运动,根据运动规律可求出下落距离h,根据并联电路可知R2上消耗的功率占整个电路的$\frac{3}{4}$,总电功率等于导体棒重力功率.
(3)正确进行受力分析,注意安培力的表达式,然后根据牛顿第二定律求解即可.

解答 解:(1)以导体棒为研究对象,棒在磁场I中切割磁感线,棒中产生产生感应电动势,导体棒ab从A下落$\frac{r}{2}$时,导体棒在重力与安培力作用下做加速运动,由牛顿第二定律,得:
    mg-BIL=ma,式中 l=$\sqrt{3}$r,I=$\frac{Bl{v}_{1}}{{R}_{总}}$
当导体棒ab下落 $\frac{r}{2}$时,由几何关系可知,棒ab以上的圆弧的长度是半圆的总长度的$\frac{2}{3}$,所以ab以上的部分,电阻值是8R,ab以下的部分的电阻值是4R+4R,
式中:R=$\frac{8R×(4R+4R)}{8R+4R+4R}$=4R
由以上各式可得到:a=g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$
故导体棒ab从A下落$\frac{r}{2}$时的加速度大小为:a=g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$.
(2)当导体棒ab通过磁场II时,若安培力恰好等于重力,棒中电流大小始终不变,即:
  mg=BI×2r=B×$\frac{B•2r•{v}_{t}}{{R}_{并}}$×2r=$\frac{{4B}^{2}{r}^{2}{v}_{t}}{{R}_{并}}$
式中:R=$\frac{12R×4R}{12R+4R}$=3R
解得:vt=$\frac{mg{R}_{并}}{4{B}^{2}{r}^{2}}$=$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动,有vt2-v22=2gh,
得:h=$\frac{9{m}^{2}g{r}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$
此时导体棒重力的功率为:PG=mgvt=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
根据能量守恒定律,此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率,即
  P=P1+P2=PG=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
所以,P2=$\frac{3}{4}$PG=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$
故磁场I和II之间的距离 h=$\frac{9{m}^{2}g{r}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$,R2上的电功率P2=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$.
(3)设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为v't,此时安培力大小为:
  F′=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}{v}_{t}′}{3R}$
由于导体棒ab做匀加速直线运动,有v't=v3+at
根据牛顿第二定律,有
F+mg-F′=ma
即:F+mg-$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}({v}_{3}+at)}{3R}$=ma
由以上各式解得:F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$(at+v3)-m(g-a)=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$at+ma-mg
故所加外力F随时间变化的关系式为:F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$at+ma-mg.
答:
(1)导体棒ab从A下落$\frac{r}{2}$时的加速度大小为g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$.
(2)磁场I和II之间的距离h是$\frac{9{m}^{2}g{r}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$,R2上的电功率是$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$.
(3)所加外力F随时间变化的关系式:F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$at+ma-mg.

点评 本题是复杂的电磁感应问题,对于这类问题一定要做好电流、安培力、运动情况、功能关系这四个方面的问题分析.

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