Question

18．如图所示，在一固定光滑的竖直圆轨道，A、B两点分别是轨道的最高点和最低点，在其内轨道上有一质量为m的光滑小球能绕轨道做圆周运动，求：
（1）证明：在圆轨道的任一直径两端点上小球的动能之和为一定值；
（2）小球在A、B两点对轨道的压力差是多少？

Answer 1

分析 （1）小球运动过程机械能守恒，应用机械能守恒定律证明．
（2）应用机械能守恒定律求出A、B两点的速度关系，应用牛顿第二定律求出在A、B两点轨道对球的支持力，然后求出其差值，再应用牛顿第三定律分析答题．

解答 解：（1）以B点所在的水平面作为零势能面，小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，
在任一直径两端点上，小球相对于零势面的高度之和都是2R，即它们的重力势能的和相等，
由于小球的机械能守恒，保持不变，球的重力势能之和相等，由机械能守恒可知，它们的动能之和也相等，为一定值；
（2）由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_A²+mg•2R，
由牛顿第二定律得：
在B点：F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
在A点：F_A+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
支持力之差：△F=F_B-F_A，
解得：△F=6mg，
由牛顿第三定律可知，球对轨道的压力之差：△F′=6mg；
答：（1）证明过程如上所述；
（2）小球在A、B两点对轨道的压力差是6mg．

点评 小球运动过程机械能守恒，分析清楚小球运动过程，应用机械能守恒定律与牛顿运动定律可以解题．