Question

2．有两颗人造地球卫星，它们的质量之比是m₁：m₂=1：2，运行速度之比是v₁：v₂=1：2，则它们轨道半径之比r₁：r₂=4：1；它们周期之比T₁：T₂=8：1；它们向心加速度之比a₁：a₂=1：16；它们所受向心力之比F₁：F₂=1：32．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma，计算出半径、向心力、周期和向心加速度表达式，根据质量之比和线速度之比进行讨论．

解答 解：对于人造地球卫星，万有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma
解得：
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$   ①
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$ ②
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$    ③
两个卫星的运行速度之比是v₁：v₂=1：2，根据①式，它们轨道半径之比r₁：r₂=4：1；
根据②式，它们周期之比T₁：T₂=8：1；
根据③式，它们向心加速度之比a₁：a₂=1：16；
根据F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$，它们所受向心力之比F₁：F₂=1：32；
故答案为：4：1，8：1，1：16，1：32．

点评 本题关键根据卫星的万有引力定律提供向心力，求解出周期、线速度和加速度表达式讨论．