Question

3．如图，粗糙水平面与光滑的、半径为R=20cm的$\frac{1}{4}$圆弧轨道BC平滑相接，C点的切线沿竖直方向，在C点正上方有一离C点高度为h=12cm的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能到达C点正上方．一劲度系数为k=100N/m的轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端有一质量为m=1kg的小物块（不栓接）．开始时用手将小物块按住处于A点，使弹簧处于压缩状态，压缩量为40cm，AB间的距离L=70cm，放手后物块被弹出．已知弹性势能的计算式为E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．物块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.4，g取10m/s²．求：

（1）小物块在此后运动过程中的最大动能．
（2）小物块上升到达旋转平台时的速度大小．
（3）若小物块能通过P孔，又恰能从Q孔落下，则平台匀速转动的角速度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）滑块从A运动到B的过程中，弹力先大于滑动摩擦力，后小于滑动摩擦力，先加速后减速，当弹力等于摩擦力时速度最大，由此列式求出速度最大时弹簧的压缩量．再由动能定理求最大速度．
（2）滑块从A运动到P的过程中，经历了两个过程，一是在水平面上，摩擦力做负功；二是从B运动到P的过程，重力做负功，根据动能定理求解小球刚到达P位置时的速度．
（3）滑块穿过P孔做竖直上抛运动，由题意，滑块滑过C点后正好穿过P孔，又恰能从Q孔落下，故应在滑块下落的时间内，平台转动半周的奇数倍．根据滑块上抛的时间，求出平台转动的周期，即可求出角速度．

解答 解：（1）当弹力与摩擦力大小相等时，滑块速度最大，有 kx₂=μmg，得 x₂=0.04m
根据动能定理，W_弹-μmg（x₁-x₂）=E_km
又${W_弹}={E_{p1}}-{E_{p2}}=\frac{1}{2}k{x_1}^2-\frac{1}{2}k{x_2}^2=7.92J$
可得 E_km=6.48J
（2）对A到P的过程用动能定理得
  $\frac{1}{2}k{x_0}^2-μmgL-mg（R+h）=\frac{1}{2}m{v^2}$
可得 v=2m/s
（3）从P孔上升到Q孔落下的时间为 $t=2\frac{v}{g}=0.4s$
题意，滑块滑过C点后正好穿过P孔，又恰能从Q孔落下，故应在滑块下落的时间内，平台转动半周的奇数倍，则有
ωt=（2k+1）π
解得ω=（5k+2.5）π rad/s（k=0，1，2…）
答：
（1）小物块在此后运动过程中的最大动能是6.48J．
（2）小物块上升到达旋转平台时的速度大小是2m/s．
（3）若小物块能通过P孔，又恰能从Q孔落下，则平台匀速转动的角速度应满足的条件是ω=（5k+2.5）π rad/s（k=0，1，2…）．

点评 本题考查机械能守恒定律及动能定理的应用，在解题时要注意灵活选择运动过程，对不同的过程应用合适的物理规律；同时注意最后一问中圆周运动的周期性．