Question

9．时速可以达到360km/h的高铁，以其快捷、舒适的特色，越来越受到人们的青睐．你可曾想过这样一个物理问题：列车对水平轨道的压力和其运动方向之间是否相关．
力学理论和实验证明：向东行驶的列车对水平轨道的压力N，与其处于静止状态时对水平轨道的压力N₀相比较，显著减少．通常把这种物理现象，称之为“厄缶效应”．作为探究“厄缶效应”课题，你可以通过完成下面的探究任务来体会之：
已知地球的质量为M，地球的半径为R，地球的自转周期为T，万有引力常量为G．求：
（1）我们设想，如图2所示，在地球赤道附近的纬线上，有一总质量为m的高速列车停在水平轨道上，当考虑到地球的自转效应，那么列车对轨道的压力大小N₀的表达式是什么？
（2）若上述列车，正在以相对地面的速度为v，沿水平轨道向东行驶，那么：列车对轨道的压力大小N的表达式是什么？N₀-N的表达式又是什么？
（3）若该高速列车的总质量m=3200吨，以360km/h的速度沿水平轨道向东行驶，已知地球的半径R=6400km，自转周期为24h，请估算该列车对轨道的压力差N₀-N=？（结果保留一位有效数字）

Answer 1

分析 （1）火车随地球自转而做圆周运动，万有引力与支持力的合力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出支持力，然后求出压力．
（2）求出火车的线速度，然后由牛顿第二定律求出支持力，再求出压力，最后求出N₀-N的表达式．
（3）把已知数据代入表达式，求出列车对轨道的压力差N₀-N．

解答 解：（1）静止在赤道上的列车，由于地球的自转，使其随地球做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-N₀′=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；解得：N₀′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
由牛顿第三定律可知，列车对轨道的压力：N₀=N₀′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
（2）当列车以对地速度v沿水平轨道向东行驶，
其圆周运动的线速度大小为：$v'=\frac{2πR}{T}+v$，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-N′=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得：N′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，
由牛顿第三定律得：N=N′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，
则：N₀-N=$\frac{4πmv}{T}$+$\frac{m{v}^{2}}{R}$；
（3）代入数据解得：${N_0}-N=\frac{4πmv}{T}+\frac{{m{v^2}}}{R}=\frac{{4×3.14×3200×{{10}^3}×100}}{24×3600}+\frac{{3200×{{10}^3}×{{100}^2}}}{{6400×{{10}^3}}}=4.6×{10^4}N$；
答：（1）列车对轨道的压力大小N₀的表达式是：N₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R；
（2）列车对轨道的压力大小N的表达式是：N=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{m（\frac{2πR}{T}+v）^{2}}{R}$，N₀-N的表达式是：N₀-N=$\frac{4πmv}{T}$+$\frac{m{v}^{2}}{R}$；
（3）该列车对轨道的压力差N₀-N为4.6×10⁴N．

点评 本题是一道信息给予题，认真审题，理解题意，从题干中获取所需信息是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律与万有引力公式可以解题．