Question

12．如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿BA向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=$\frac{1}{3}$，设小球经过轨道连接处均无能量损失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少多大？
（2）若小球以E_K0=31J的初动能从B点出发，则小球第二次到达D点时的动能为多少？
（3）在第（2）小题的情况下，小球在CD段上运动的总路程为多少？

Answer 1

分析 （1）要使小球能够向上运动并回到B点，有两个临界条件的要求：一是要使小球能够通过圆弧APD的最高点，二是通过了圆弧APD的最高点后还能够再次到达B点．根据能量守恒分别求出小球恰好通过圆弧APD的最高点以及恰好到达B点时的初动能，比较两种情况下的初动能，从而得出初动能E_K0的最小值．
（2）根据动能定理求出小球从B点出发又回到B点时的动能，根据动能定理判断其能上升的最大高度，若不能上滑到最高点，由于重力的分力大于滑动摩擦力，小球会下滑，求出小球在AB杆上摩擦产生的热量．根据能量守恒求出第二次经过D点的动能．
（3）通过第二问解答知小球能够第二次到达D点，根据能量守恒定律讨论小球能否第二次通过D点返回后上升到B点，从而确定小球的运动情况，最后根据动能定理求出小球在CD段上运动的总路程．

解答 解析：（1）若要使小球能够通过圆弧APD的最高点，因为小球是穿在杆上，所以到达最高点时速度可以为0．
由能量守恒得：E_k0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ
代入数据解得：E_k0=30J
（2）小球第一次回到B点时的动能为：-μmgLcos θ-μmgL=E_KB-E_k0
得E_kB=13J＜30J，说明小球不可能第二次过最高点，设小球沿AB向上运动到距离B点为s处返回．则有：E_kB=μmgscosθ+mgssinθ
代入数据解得s=1.5m
小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为所以：
E_KD=mg（r+rcosθ）+E_k1-Q-μmgL=13J
（3）小球第二次到D点后还剩13J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，到C点只剩下3J的能量．因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点．
由动能定理：E_KD=μmgs₁
可得小球在CD上所通过的路程为：s=3.9m
小球通过CD段的总路程为：S_总=2L+s=9.9m
答：（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至为30J
（2）若小球以E_K0=31J的初动能从B点出发，则小球第二次到达D点时的动能为13J
（3）在第（2）小题的情况下，小球在CD段上运动的总路程为9.9m

点评 本题过程较复杂，关键是理清过程，搞清运动规律，合适地选择研究的过程，运用动能定理和能量守恒定律进行解题．