Question

10．如图所示，两体积相同质量分别是m和M的弹性小球A和B，且M≥m，两小球重叠在一起，从高度为H处自由下落，B触地后在极短时间内反弹，且与地碰擦前后速度大小不变，接着A脱离B竖直上升，所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直方向，又H远大于两小球半径．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）若M=m，则小球m反弹后能达到的高度；
（2）当A脱离B竖直上升，若B恰好停留在地板上，则M是m的多少倍？此时球A上升的高度是多少？
（3）满足M≥m的条件下，系统的最大弹性势能是多少？

Answer 1

分析 下降过程为自由落体运动，触地时两球速度相同，但M碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，而m也会与M碰撞，选m与M碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，机械能守恒，列方程解得m的速度，之后m做竖直上抛运动，由动能定理或运动学公式求解反弹高度；根据能量守恒得出系统动能最小时系统的最大的弹性势能．

解答 解：（1）下降过程为自由落体运动，触地时两球速度相同，v=$\sqrt{2gH}$，M碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，
选m与M碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后m、M速度大小分别为v₁、v₂，选向上方向为正方向，则：
Mv-mv=mv₁+Mv₂
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+M）v²=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$M${v}_{2}^{2}$
且m=M
联立解得：v₁=v，v₂=-v，即小球m的速度方向向上，
根据运动学公式得反弹后高度为：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=H，
（2）当A脱离B竖直上升，若B恰好停留在地板上，
选m与M碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后m、M速度大小分别为v₁、v₂，选向上方向为正方向，则：
Mv-mv=mv′+0
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+M）v²=$\frac{1}{2}$mv′²
解得：M=3m，v′=2v=2$\sqrt{2gH}$，
根据运动学公式得反弹后高度为：h′=4H，
（3）根据能量守恒得出系统动能最小时，系统的弹性势能最大，所以系统的最大弹性势能为：
E_pm=$\frac{1}{2}$（m+M）v²=（m+M）gH．
答：（1）若M=m，则小球m反弹后能达到的高度是$\frac{{v}^{2}}{2g}$=H；
（2）当A脱离B竖直上升，若B恰好停留在地板上，则M是m的3倍，此时球A上升的高度是4H；
（3）满足M≥m的条件下，系统的最大弹性势能是（m+M）gH．

点评 本题过程复杂，分析清楚物体运动过程，根据不同的情况进行讨论，应用机械能守恒定律、动量守恒定律即可正确解题．