Question

3．如图所示，已知半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面内，甲轨道左侧又连接一个光滑的轨道，两圆形轨道之间由一条水平轨道CD相连．一小球自某一高度由静止滑下，先滑过甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑过乙轨道，最后离开．若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零．试求：
（1）释放小球的高度h．
（2）水平CD段的长度．

Answer 1

分析 （1）小球滚到两圆轨道最高点均仅受重力，运用向心力公式可求出在其位置的速度．因为轨道光滑，则由机械能守恒定律可求出轨道最低点速度，从而也求出释放的高度．
（2）由于CD段粗糙，不能运用机械守恒定律，选用动能定理，就可算出长度，

解答 解：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为v_c，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，有
$mg=m\;\frac{{v′}^{2}}{R}$…①
取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律有：
 $\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v′}^{2}$…②
由①、②两式消去v′，可得：
${v}_{c}\;=\sqrt{5gR}$…③
同理可得小球滑过D点时的速度为：
${v}_{D}=\sqrt{5gr}$…④
所以小球经过C点的速度为$\sqrt{5gR}$  经过D点的速度为$\sqrt{5gr}$
小球从在甲轨道左侧光滑轨道滑至C点时机械能守恒，有：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$…⑤
由③、⑤两式联立解得：
h=2.5R
因此小球释放的高度为2.5R
（2）设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理有：
$-μmgl=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$…⑥
由③、④、⑥三式联立解得：
$l=\frac{5（R-r）}{2μ}$
则有水平CD段的长度为$\frac{5（R-r）}{2μ}$
答：（1）释放小球的高度是2.5R．
（2）水平CD段的长度是$\frac{5（R-r）}{2μ}$．

点评 掌握向心力公式外，还熟悉了牛顿第二定律，最后比较了机械能守恒定律与动能定理的优缺点．本题中小球在轨道最高点压力为零是解题的切入点．