Question

12．如图所示，在光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B．它们的质量均为2m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，物块A通过一根轻绳跨过光滑的定滑轮与物块D相连，物块D的质量也为2m，用手托住物块D，使轻绳拉直但没有作用力．从静止释放物块D，当物块D达到最大速度时，物块B恰好离开挡板C．求：
（1）斜面的倾角θ；
（2）物块D的最大速度v_m；
（3）在其他条件不变的情况下，将物块D的质量改为$\frac{3m}{2}$，若物块D的最大速度为v，求物块D从开始运动到达到最大速度的过程中弹簧的弹性势能的变化量△E_p．

Answer 1

分析 （1）物块D达到最大速度时，A、B、D系统平衡，根据平衡条件列方程求解斜面的倾角θ；
（2）、（3）系统组成的系统机械能守恒，据此列方程求解；

解答 解：（1）物块D达到最大速度时，A、B、D系统平衡，则：4mgsinθ=2mg…①
所以θ=30°
（2）释放物块D前，对物块A有：2mgsinθ=kx₁…②
物块D达到最大速度时，对物块B有：2mgsinθ=kx₂…③
由 ②③得：x₂=x₁=$\frac{mg}{k}$，即从释放物块D到物块D达到最大速度的过程中，弹簧的弹性势能不变．
则由机械能守恒得：2mg（x₁+x₂）=2mg（x₁+x₂）sin30°+$\frac{1}{2}$（4m）${v}_{m}^{2}$…④
联立得：v_m=g$\sqrt{\frac{m}{k}}$…⑤
（3）物块D达到最大速度时，B未离开挡板C，A、D系统平衡，则：
  $\frac{3}{2}$mg=kx₃+2mgsinθ…⑥
 所以x₃=$\frac{mg}{2k}$＜x₁，弹簧的弹性势能减少．则由机械能守恒得：
$\frac{3}{2}$mg（x₃+x₁）-△E_p=2mg（x₃+x₁）sinθ+$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}m+2m$）v²…⑦
联立得：△E_p=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}}{4k}$-$\frac{7}{4}$mv²…⑧
答：（1）斜面的倾角θ为30°；
（2）物块D的最大速度v_m为g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）物块D达到最大速度的过程中弹簧的弹性势能变化量是$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}}{4k}$-$\frac{7}{4}$mv²．

点评 本题综合考查了共点力平衡、牛顿第二定律、胡克定律和机械能守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．