Question

14．2010年10月1日，我国成功发射了“嫦娥二号”探月卫星．“嫦娥二号”在距月球表面100km高度的轨道上做圆周运动，这比“嫦娥一号”距月球表面200km的圆形轨道更有利于对月球表面做出精细测绘．已知月球的质量约为地球质量的$\frac{1}{80}$，月球的半径约为地球半径的$\frac{1}{4}$，地球半径6400km，地球表面附近的重力加速度为10m/s²．求：
（1）月球表面附近的重力加速度；
（2）“嫦娥一号”与“嫦娥二号”在各自圆轨道上运行速度的大小之比．（已知$\sqrt{\frac{17}{18}}$≈0.97）

Answer 1

分析 （1）星球表面重力与万有引力相等，求得重力加速度的表达式，再根据地月半径质量关系和地球表面的重力加速度求得月球表面的重力加速度；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力，由轨道半径关系求得线速度之比．

解答 解：（1）在星球表面的物体受到的重力等于星球对它的万有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
$\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{月}}{{R}_{月}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{{M}_{月}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{月}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{80}{M}_{地}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}×（\frac{1}{4}{R}_{地}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
g_月=$\frac{1}{5}$g_地=2m/s²；
（2）卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
线速度之比：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}}{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{4}×6400+100}{\frac{1}{4}×6400+200}}$≈0.97；
答：（1）月球表面附近的重力加速度是2m/s²；
（2）“嫦娥一号”与“嫦娥二号”在各自圆轨道上运行速度的大小之比为0.97．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，掌握万有引力应用的思路即可解题；万有引力问题主要从星球表面重力与万有引力相等，万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力求解．