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    14．在有“科学界奥斯卡”之称的美国《科学》杂志2003年度世界科技大突破评选中，物理学中的“证明宇宙是由暗物质和暗能量‘主宰’”的观点名列榜首，成为当今科技突破中的头号热点．世界科技的发展显示，暗物质、暗能量正成为天体物理学研究的重点．宇宙中的暗物质是不能直接观测到的东西，存在的依据来自子螺旋转的星系和星团，这些星系和星团以自身为中心高速旋转而没有飞散开去，仅靠自身质量产生的引力是远不足以把它们集合在一起的，一定存在暗物质，它的吸引力足以把这些旋转的星系牢牢抓住．根据对某一双星系统的光学测量确定该双星系统中每一个星体的质量都是M，两者相距L（L远大于星体的直径），它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．
    （1）若没有其他物质存在，试推算该双星系统的运动周期T．
    （2）若实验上观测到的运动周期为T′，且T′：T=1：$\sqrt{N}$（N＞1），为了解释观测周期T′和（1）中理论上推算的双星运动的周期T不同，目前有一种理论认为，在宇宙中可能存在一种用望远镜也观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

    分析 （1）双星系统围绕两者连线的中点做圆周运动，相互间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期T；
    （2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，双星系统就由相互间的万有引力的暗物质的引力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出暗物质的质量，再求解其密度．

    解答 解：（1）双星均绕它们的连线中点做圆周运动，设运动的周期为T，根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}=M•\frac{L}{2}•（\frac{2π}{T}）^{2}$
    解得周期为：T=πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$
    （2）根据观测结果，星体运动的周期T′＜T，说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它还受到其他指向中心的作用力．由题意知，这一作用力来源于均匀分布的暗物质．均匀分布在球内的暗物质对双星系统的作用与一个质量等于球内暗物质的总质量M′而位于中点处的质点相同，考虑到暗物质作用后双星的运动周期即为T′，则有：
    $G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{MM′}{（\frac{L}{2}）^{2}}=M•\frac{L}{2}•{（\frac{2π}{T′}）}^{2}$，
    由题设条件可知：T′：T=1：$\sqrt{N}$
    联立解得：M′=$\frac{N-1}{4}$M  
    设所求暗物质的密度为ρ，有：
    ρ•$\frac{4}{3}$π•${（\frac{L}{2}）}^{3}$=$\frac{N-1}{4}$M  
    解得：$ρ=\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$
    答：（1）该双星系统的运动周期T为πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$；
    （2）该星系间这种暗物质的密度为$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．

    点评 对于双星问题和暗物质问题，关键都要建立模型，确定向心力的来源．若双星圆周运动的圆心不在连线的中点，要采用隔离法研究．

    练习册系列答案
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    （1）棱镜材料的折射率；
    （2）光束在棱镜中传播的时间．

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    B．甲、乙两恒星的加速度之比为2：3
    C．甲、乙两恒星的线速度之比为3：2
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    2．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
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    （2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．

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    C．地球表面的重力加速度g和地球的半径R
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