Question

如图1所示，水平放置长为L的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图2所示的方波电压，电压的正向值为U₀，反向电压值为

U0

2

，且每隔

T

2

换向一次，现有质量为m、带正电且电量为q的粒子束从A、B的中点O沿平行于金属板方向OO′射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响，试问：
（1）在靶MN上距其中心O′点多远的范围内有粒子击中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足什么条件？（写出U₀、m、d、q、T的关系式即可）
（3）求打在靶上的粒子的速度有多大？

Answer 1

分析：1、由运动的独立性可知，带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做变速运动．粒子打在靶MN上的范围，实际上就是粒子在竖直方向所能到达的范围．分别计算当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中和粒子在

T

2

，3

T

2

，…（2n+1）

T

2

时刻进入电场时，这两种情况向粒子在竖直方向上的位移．比较哪个最大，最大是多少．
2、要使粒子能全部打在靶上，竖直方向上最大位移必须小于

d

2

，列式化简即可．
3、根据动量定理，求解垂直于极板的速度度为V_y，在平行于极板方向做匀速直线运动，所以平行于极板的速度v0=

L

T

，根据勾股定理v=

v02+vy2

计算打在靶上的粒子的速度．

解答：解：由运动的独立性可知，带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做变速运动．粒子打在靶MN上的范围，实际上就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
（1）当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，在前

T

2

时间内，粒子在竖直向下的位移为：
s1=

1

2

a1(

T

2

)2=

qU0T2

8md

在后

T

2

时间内，粒子在竖直向下的位移为：s2=v?

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
将v=a1

T

2

=

qU0

2md

，a2=

qU0

2md

代入上式得：s2=

3qU0T2

16md

故粒子打在距O′点正下方的最大位移为：s=s1+s2=

5qU0T2

16md

当粒子在

T

2

，3

T

2

，…（2n+1）

T

2

时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点，在前

T

2

时间内，粒子在竖直向上的位移为：
s1′=

1

2

a1′(

T

2

)2=

1

2

qU0

md

(

T

2

)2=

qU0T2

16md

在后

T

2

时间内，粒子在竖直向上的位移为：s2′=v′

T

2

-

1

2

a2′(

T

2

)2
其中，v′=a1′

T

2

=

qU0T

4md

，a2′=

qU0

md

，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′点正上方的最大位移为：s′=s1′+s2′=

qU0T2

16md

．
（2）要使粒子能全部打在靶上，须有：

5qU0T2

16md

＜

d

2

，即U0＜

8md2

5qT2

．
（3）因为粒子在平行于极板方向做匀速直线运动，所以平行于极板的速度：
v0=

L

T

设垂直于极板的速度度为V_y，则据动量定理有：
mvy=

qU0

d

T

2

-

qU0

2d

T

2

=

1

4

qU0

d

T
所以打在靶上粒子的速度为v=

v02+vy2

=

L2 T2 + q2U02T2 16m2d2

答：（1）故粒子打在距O′点正上方的最大位移为：

qU0T2

16md

．
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足U0＜

8md2

5qT2

．
（3）打在靶上的粒子的速度为

L2 T2 + q2U02T2 16m2d2

．

点评：本题是带电粒子在电场中的偏转，是典型的类平抛运动的问题，把粒子的运动分解为水平和竖直方向上的运动，在水平方向上做匀速运动，竖直方向上做匀速直线运动，本题还要注意电场力的大小和方向具有周期．