Question

如图所示，光滑水平面上有A、B两辆小车，m_A=m_B=1kg，m_C=0.5kg．现将小球C用长l=0.2m的细线悬于A车支架上的O点，O点距地面高度为1.45m，开始A车与球C以v₀=4m/s的速度冲向原来静止的B车，如果A、B正碰后粘在一起，不计一切阻力，g=10m/s²．求：
（1）A、B粘在一起瞬间的速度．
（2）小球C摆动的最大高度．
（3）小球C回到O点正下方时细线对小球的拉力．
（4）如果当小球C第一次回到O点的正下方时，突然断裂，小球落地时与此时小车悬点O的水平距离．

Answer 1

分析：光滑水平面上有A、B两辆小车，发生正碰的瞬间，由于正碰后粘在一起的时间极短，小球C暂未参与碰撞，由动量守恒，求出碰后的A、B两车的速度；
碰后，A、B粘在一起，小球C向左摆动，细绳水平方向分力使A、B加速，当C的速度与A、B水平方向的速度相同时，小球C摆至最高点，以A、B、C组成的系统为研究对象，由动量守恒求出A、B、C的共同速度，然后设小球C摆至最大高度为h，由机械能守恒，即可得解小球C摆动的最大高度；
小球C回到O正下方根据动量守恒求C的速度，然后根据牛顿第二定律求小球所受的拉力；
小球断裂后做平抛运动，求出C平抛的水平位移与这段时间内AB前进的距离，二者之和为小球落地时与此时小车悬点O的水平距离．

解答：解：（1）以A、B小车组成的系统为研究对象，由于正碰后粘在一起的时间极短，小球C暂未参与碰撞，由动量守恒定律有：m_Av₀=（m_A+m_B）v
得v=

1×4

1+1

=2m/s
（2）碰后，A、B粘在一起，小球C向左摆动，细绳水平方向分力使A、B加速，当C的速度与A、B水平方向的速度相同时，小球C摆至最高点，以A、B、C组成的系统为研究对象，由动量守恒有：m_Cv₀+（m_A+m_B）v=（m_A+m_B+m_C）v′
得v′=2.4 m/s．

1

2

m_C v₀²+

1

2

（m_A+m_B）v²=（m_A+m_B+m_C）v^′2+m_Cgh
得：h=0.16m．
（3）球摆到最低点时，由动量守恒有
m_Cv₀+（m_A+m_B）v=（m_A+m_B）v₁-m_cv₂
由能量守恒有：

1

2

m_C v₀² +

1

2

（m_A+m_B）v²=

1

2

m_C v₂²+

1

2

（m_A+m_B）v₁²
联立两方程得：v₁=3.5m/s   v₂=2m/s
对球在最低点受力分析，根据牛顿第二定律有：T-mg=m

v22

l

得：T=15N
（4）如果当小球C第一次回到O点的正下方时，突然断裂
断裂后小球做平抛运动：h-l=

1

2

gt²
x₁=v₂t
小车做匀速直线运动：x₂=v₁t
得△x=x₁+x₂=1m
答：（1）A、B粘在一起瞬间的速度2m/s．
（2）小球C摆动的最大高度0.16m．
（3）小球C回到O点正下方时细线对小球的拉力15N．
（4）如果当小球C第一次回到O点的正下方时，突然断裂，小球落地时与此时小车悬点O的水平距离1m．

点评：在水平方向没有外力做功的情况下运用动量守恒，和只有重力做功情况下的机械能守恒来解决实际问题．