Question

20．如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E和0.5E；Ⅱ区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、带电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边界O点正上方的M点以速度v₀水平射入电场，经水平分界线OP上的A点与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中．求：
（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；
（2）O、M间的距离；
（3）粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场Ⅰ中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，由题意，粒子经过A点的速度方向与OP成60°角，即可求出此时粒子的速度．粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出轨道半径．
（2）粒子在匀强电场中运动时，由牛顿第二定律求得加速度，在A点，竖直方向的速度大小为v_y=v₀tan60°，由速度公式求解时间，由位移求得O、M间的距离．
（3）画出粒子在Ⅱ区域磁场中的运动轨迹，由几何知识求出轨迹对应的圆心角θ，根据t=$\frac{θ}{2π}T$，求出在磁场中运动的时间．粒子进入Ⅲ区域的匀强电场中后，先向右做匀减速运动，后向左做匀加速运动，第二次通过CD边界．由牛顿第二定律和运动学公式结合可求得粒子在Ⅲ区域电场中运行时间，即可求解粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用时间．

解答 解：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，设粒子过A点时速度为v，
由类平抛运动的规律知 $v=\frac{{v_0^{\;}}}{{cos{{60}°}}}$
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
$Bqv=m\frac{v^2}{R}$
所以 $R=\frac{{2m{v_0}}}{qB}$
（2）设粒子在电场中运动时间为t₁，加速度为a．

则有qE=ma
v₀tan60°=at₁
即${t_1}=\frac{{\sqrt{3}m{v_0}}}{qE}$
O、M两点间的距离为 $L=\frac{1}{2}at_1^2=\frac{3mv_0^2}{2qE}$
（3）设粒子在Ⅱ区域磁场中运动时间为t₂．
则由几何关系知轨道的圆心角∠AO₁D=60°，则
${t_2}=\frac{T_1}{6}=\frac{πm}{3qB}$
设粒子在Ⅲ区域电场中运行时间为t₃，则牛顿第二定律得
$a'={\frac{{q\frac{E}{2}}}{m}^{\;}}=\frac{qE}{2m}$
则 t₃=$\frac{2{v}_{0}}{a′}$=$\frac{4m{v}_{0}}{qE}$
故粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用时间为
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}+\frac{πm}{3qB}+\frac{4m{v}_{0}}{qE}$=$\frac{4+\sqrt{3}}{qE}m{v}_{0}+\frac{πm}{3qB}$
答：
（1）粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径是$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$．
（2）O、M间的距离是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qE}$．
（3）粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间是$\frac{4+\sqrt{3}}{qE}m{v}_{0}+\frac{πm}{3qB}$．

点评 本题中带电粒子在复合场中运动，运用运动的分解法研究类平抛运动，画轨迹确定圆心和半径是处理粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的关键．