Question

18．现在我们要研究有关电场强弱的问题：
（1）电场强度：我们知道，磁体周围存在磁场；同样，带电体周围存在电场，我们用电场强度E表示电场的强弱．在电场中各点E 的大小一般是不同的，E越大，表示该点电场越强．不同点E的方向也一般不同．若一个小球带的电量为q，则与其距离为r的A点处的电场强度大小为E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$（k为常数），这说明距离带电体越远，电场越弱．
（2）环形带电体的电场强度：
如图所示，有一个带电均匀的圆环，已知圆环的半径为 R，所带的总电量为Q．过圆环中心O点作一垂直于圆环平面的直线，那么在此直线上与环心相距为x的P点处的电场强度E_P的表达式是怎样的呢？某同学首先把圃环均匀分割为许多等份，每一等份的圆弧长度为△l，则每一等份的电量为$\frac{Q•△l}{2πR}$；每一等份可以看作一个带电小球，则每一等份在P点所产生的电场强度的大小为E₁=$\frac{kQ•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$；E₁沿着OP 方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$．
E_P的大小等于圆环上所有等份的E_1x大小之和，即E_P=$\frac{kxQ}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）由电场强度大小的公式直接判断；
（2）求出圆环的周长，再计算△l的圆弧长的电量；
利用勾股定理得出点P的距离的平方，把△l的圆弧长的电量代入电场强度公式E=$\frac{kq}{{r}^{2}}$，可得P点的产生的电场强度的大小；
利用三角形余弦公式计算出E₁沿着OP方向的分量E_1x；最后E_P的大小是E_1x×$\frac{2πR}{△l}$，从而即可一一求解．

解答 解：（1）根据题意可知，电场强度大小公式E=$\frac{kq}{{r}^{2}}$，可知，当r增大时，E变小，所以距离带电体越远的，电场强度越弱；
（2）半径为R的圆环的周长是2πR，圆弧长度为△l弧上的电量为Q′=$\frac{Q}{2πR}×△l$=$\frac{Q•△l}{2πR}$，
由股定理可知，△l处到点P的距离的平方，r²=R²+x²，
因此P点所产生电场强度的大小为E₁=$\frac{kq}{{r}^{2}}$=k×$\frac{\frac{Q•△l}{2πR}}{{R}^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{kQ•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$，
根据cos∠E₁PE_1x=$\frac{x}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{1}{2}}}$
所以E₁沿着OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$
那么E_P的大小是E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△l}$=$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$×$\frac{2πR}{△l}$=$\frac{kxQ}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$
故答案为：（1）弱；（2）$\frac{Q•△l}{2πR}$，$\frac{kQ•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$，$\frac{kQx•△l}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$，$\frac{kxQ}{（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$．

点评 考查点电荷电场强度的公式内容，掌握矢量的合成与分解，理解三角知识的应用，注意正确的数学公式运算是解题的难点．