Question

14．过山车是游乐场中常见的设施．如图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内半径R=2.0m的圆形轨道组成，B、C分别是圆形轨道的最低点和最高点．一个质量为m=1.0kg的小滑块（可视为质点），从轨道的左侧A点沿轨道向右运动，A、B间距L=11.5m．小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.10．圆形轨道是光滑的，水平轨道足够长．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）要使滑块恰好通过C点，滑块从轨道的左侧A点至少以多大的初速度沿轨道向右运动
（2）若滑块从轨道的左侧A以V₀=12m/s的初速度沿轨道向右运动；则
①滑块经过C点时受到轨道的作用力大小F；
②滑块最终停留点D（图中未画出）与起点A的距离d．

Answer 1

分析 （1）抓住滑块恰好通过最高点C，根据牛顿第二定律求出最高点的速度，对A到C运用动能定理，求出初速度的大小．
（2）根据动能定理求出C点的速度，结合牛顿第二定律求出弹力的大小．
（3）对全过程运用动能定理，求出滑块最终停留点D（图中未画出）与起点A的距离d．

解答 解：（1）滑块恰好通过C点，有：mg=$m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{C}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×2}m/s=2\sqrt{5}$m/s、
从A到C，根据动能定理得，$-mg•2R-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得${v}_{0}=\sqrt{123}$m/s．
（2）①从A到C，根据动能定理有：$-mg•2R-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
在C点：$mg+F=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
代入数据解得：F=10.5N
根据牛顿第三定律知，滑块经过C点时受到轨道的作用力大小为10.5N．
②从A到D运用动能定理得，$-μmgs=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$$-μmgd=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得s=72m．  
 滑块最终停留点D（图中未画出）与起点A的距离d=72-2×11.5m=49m
答：（1）要使滑块恰好通过C点，滑块从轨道的左侧A点至少以$\sqrt{123}$m/s的初速度沿轨道向右运动．
（2）滑块经过C点时受到轨道的作用力大小为10.5N；滑块最终停留点D（图中未画出）与起点A的距离d为49m．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律与圆周运动的综合，知道最高点向心力的来源，合理选择研究过程，运用动能定理进行求解．