Question

6．如图甲所示，在光滑绝缘的水平桌面上建立一xoy坐标系，平面处在周期性变化的电场和磁场中，电场和磁场的变化规律如图乙所示（规定沿+y方向为电场强度的正方向，竖直向下为磁感应强度的正方向）．在t=0时刻，一质量为m=0.01kg、电荷量为q=0.1C的带电金属小球自坐标原点O处，以v₀=2m/s的速度沿x轴正方向射出．已知E₀=0.2N/C、B₀=0.2π T．求：
（1）t=1s末金属小球速度的大小和方向；
（2）1s～2s内，金属小球在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（3）试求出第3秒末小球所在位置的坐标．

Answer 1

分析 （1）金属球在0-1s内做类平抛运动，分别求出x、y轴方向的分速度，然后求出小球的速度．
（2）金属球做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出半径与周期．
（3）金属球在第1与第3秒内都沿x轴做匀速直线运动，沿y轴做匀加速直线运动，在第2s内金属球做匀速圆周运动，应用匀速与匀变速直线运动的运动规律可以求出小球的坐标．

解答 解：（1）在0～1s内，金属小球做类平抛运动，
x轴方向：v_x=v₀=2m/s，
y方向：v_y=at₁=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₁=$\frac{0.1×0.2}{0.01}$×1=2m/s，
1s末粒子的速度：v₁=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$m/s，
设v₁与x轴正方向的夹角为α，则：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{2}{2}$=1，则α=45°；
（2）在1s～2s内，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，代入数据解得：r=$\frac{\sqrt{2}}{π}$m，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{1}}$，解得：T=1s；    
（3）由（2）可知小球在第2秒的位置和第1秒末的位置相同，
金属球在第三秒内沿x轴做匀速直线运动，沿y轴做匀加速直线运动，
设第3秒末小球所处位置坐标为（x，y），t₂=2s，
在x轴方向：x=v₀t₂，
在y轴方向：y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₂²，
代入数据解得：x=4m，y=4m，金属球的坐标为：（4m，4m）；
答：（1）t=1s末金属小球速度的大小为$\sqrt{2}$m/s，方向：与x轴正方向夹45°角；
（2）1s～2s内，金属小球在磁场中做圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{2}}{π}$m，周期为1s；
（3）第3秒末小球所在位置的坐标为（4m，4m）．

点评 金属球在电场中受到电场力作用，在磁场中受到洛伦兹力作用，根据图示图象分析清楚金属球的运动过程，应用匀速运动规律与匀变速运动规律即可正确解题．