Question

12．河宽300m，水流速度为3m/s，小船在静水中的速度为5m/s，问：
（1）以最短时间渡河，时间为多少？可到达对岸的什么位置？
（2）以最短航程渡河，船头应朝向何处？渡河时间又为多少？（sin37°=0.6   cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河时间最短，即为船头始终指向河对岸时，时间最短．用运动学公式即可得知渡河的最短时间．
（2）船垂直渡河时船的航程最短，此时船头要指向上游，并且沿河岸方向上的分量大小与水流的速度大小相等，对两个速度进行合成，即可求得渡河时间．

解答 解：（1）要使船到达对岸的时间最短，即为在垂直于河岸的方向上船的速度最大，即为船头应垂直于河岸行驶，如图所示，最短时间为：
t_min=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{300}{5}$=60s
此时沿河岸方向的位移x=v_水t=3×60m=180m．
航程s=$\sqrt{{d}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{30{0}^{2}+18{0}^{2}}$=350m
（2）要使船航程最短，即为让船垂直河岸渡河，船航行的实际速度垂直于河岸，如图所示
设船在静水中的速度方向与河岸间的夹角为θ，船在静水中的速度沿河岸上的分量大小与水流的速度大小相等，方向相反，有：v_静•cosθ=v_水
即为：cosθ=$\frac{3}{5}$得：θ=53°
即为船头指向上游，与河岸间的夹角为53°
此时合速度为：v_合=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4m/s
渡河时间为：t=$\frac{d}{{v}_{合}}$=$\frac{300}{4}$=75s
答：（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向河对岸，最短时间为60s，在到达对岸偏下游350m位置．
（2）要使船航程最短，船头指向上游，与河岸间的夹角为53°，此时过河所用的时间为75s．

点评 该题通过渡河的模型考察了运动的合成与分解，关于渡河问题，应注意几种渡河方式，一是垂直渡河，此时渡河位移最短，但是所用时间不是最短的，此种情况要求船的合速度与河岸垂直，二是船头始终指向对岸的渡河，此种情况下渡河时间最短，但是渡河位移不是最短；关于渡河问题，还要会判断能否垂直渡河，其条件是船在静水中的速度大小要大于河水流动的速度大小．