Question

7．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M（引力常量G为已知）（　　）

• A． 月球绕地球运动的周期T及月球绕地球运行的角速度ω
• B． 地球绕太阳运行的周期T及地球到太阳那个中心的距离r
• C． 人造卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T
• D． 地球绕太阳运行速度v及地球到太阳中心的距离r

Answer 1

分析 万有引力的应用之一就是计算中心天体的质量，计算原理就是万有引力提供球绕天体圆周运动的向心力，列式只能计算中心天体的质量．

解答 解：A、月球绕地球做圆周运动，地球对月球的万有引力提供圆周运动的向心力，列式如下：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R=mRω²；由于知道的是月球绕地球运动的周期T及月球绕地球运行的角速度ω；无法明确半径；故无法求出地球的质量；故A错误；
B、地球绕太阳做圆周运动，太阳对地球的万有引力提供地球做圆周运动向心力，列式如下：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R 可知，m为地球质量，在等式两边刚好消去，故不能算得地球质量，故B错误；
C、人造地球卫星绕地球做圆周运动，地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，列式有：
$\frac{GMm}{{{R}_{地}}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R_地，可得地球质量M=$\frac{{{4π}^{2}R}_{地}^{3}}{{GT}^{2}}$，
根据卫星线速度的定义可知v=$\frac{2{πR}_{地}}{T}$，解得R_地=$\frac{vT}{2π}$代入M=$\frac{{{4π}^{2}R}_{地}^{3}}{{GT}^{2}}$可得地球质量，故C正确；
D、地球绕太阳做圆周运动，太阳对地球的万有引力提供地球做圆周运动向心力，列式如下：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可知，m为地球质量，在等式两边刚好消去，故不能算得地球质量，故D错误．
故选：C．

点评 万有引力提供向心力，根据数据列式可求解中心天体的质量，注意向心力的表达式需跟已知量相一致．