Question

10．如图所示，一矩形线圈abcd放置在一有理想边界的匀强磁场中，匀强磁场中存在于OO′的左侧，已知线圈匝数为n、ab边长为I₁、ad边长为I₂、线圈电阻为r，OO′轴离ab边距离为$\frac{2}{3}$L₂，磁场的磁感应强度为B．线圈的两端接一个灯泡，灯泡的电阻为R．线圈以理想边界OO′为轴，以角速度ω按如图所示的位置及转动方向匀速转动．求：
（1）在0～$\frac{T}{4}$的时间内，通过灯泡的电荷量；
（2）灯泡消耗的电功率；
（3）若B=1.0×10^-2T、n=100、L₁=0.5m、L₂=0.3m、ω=200rda/s，画出感应电动势随时间变化的图象，以abcda方向为正方向，至少画出一个完整的周期．

Answer 1

分析 （1）根据电量表达式，q=$\overline{I}•△t$，结合法拉第电磁感应定律，求得综合表达式，从而即可求解；
（2）根据最大值与有效值的关系，并由功率表达式，即可求解．
（3）根据切割磁感线的最大感应电动势表达式，可确定ab、cd两边产生最大感应电动势，从而作出图象；

解答 解：（1）线圈的转动周期为：$T=\frac{2π}{ω}$…①
$0～\frac{T}{4}$时间内，平均电动势为：$\overline E=n\frac{△Φ}{△t}=\frac{{nB{L_2}×\frac{2}{3}{L_2}}}{{\frac{T}{4}}}$…②
由欧姆定律得平均电流为：$\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$…③
通过灯泡的电荷量为：$q=\overline I•\frac{T}{4}$…④
解①②③④得：$q=\frac{{2nB{L_1}{L_2}}}{3（R+r）}$…③
（2）ab边在磁场中切割磁感线时，感应电动势的最大值为：${E_{m1}}=nB{L_1}×\frac{2}{3}{L_2}ω$…⑥
电流的最大值为：${{I}_{m_1}}=\frac{{{E_{m1}}}}{R+r}$…⑦
cd边在磁场中切割磁感线时，感应电动势的最大值为：${E_{m2}}=nB{L_1}×\frac{1}{3}{L_2}ω$…⑧
电流的最大值为：${I_{m2}}=\frac{{{E_{m2}}}}{R+r}$…⑨
设一个周期内交变电流有效值为I，由有效值的定义得：${I^2}（R+r）T={（\frac{{{{I}_{m1}}}}{{\sqrt{2}}}）^2}（R+r）\frac{T}{2}+{（\frac{{{{I}_{m2}}}}{{\sqrt{2}}}）^2}（R+r）\frac{T}{2}$…⑩
灯泡消耗的电功率为：P=I²R…⑪
解⑥⑦⑧⑨⑩⑪得：$P=\frac{{5{n^2}{B^2}L_1^2L_2^2{ω^2}R}}{{36{{（R+r）}^2}}}$
（3）代入数据，解⑥⑧式得：E_m1=20V，E_m2=10V
在一个周期T内，电动势的函数特点如下：
在$0～\frac{π}{400}s$时间内：e=-E_m1sin（ωt）
在$\frac{π}{400}s～\frac{π}{200}s$时间内：e=-E_m2sin（ωt）
在$\frac{π}{200}s～\frac{3π}{400}s$时间内：e=-E_m2sin（ωt）
在$\frac{3π}{400}s～\frac{π}{100}s$时间内：e=-E_m2sin（ωt）
所以，图象如图所示．

答：（1）在0-$\frac{T}{4}$的时间内，通过小灯泡的电荷量为$\frac{{2nB{L_1}{L_2}}}{3（R+r）}$；
（2）小灯泡消耗的电功率$\frac{{5{n^2}{B^2}L_1^2L_2^2{ω^2}R}}{{36{{（R+r）}^2}}}$．
（3）感应电动势随时间变化的图象（如上图所示）；

点评 考查电量的综合表达式，q=$\frac{N△∅}{R}$的应用与掌握，并学会求出感应电动势的最大值，及最大值与有效值的关系，同时理解功率的表达式，注意由有效值计算功率，热量等．