Question

20．同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，加速过程中粒子轨道固定，磁场可跳变．其基本原理简化为如图所示的模型．M、N为两块中心开有小孔的平行金属板．质量为m、电荷量为+q的粒子A（不计重力）从M板小孔飘入板间，初速度可视为零，每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零．两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离，A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化．不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应．求
（1）A运动第1周时磁场的磁感应强度B₁的大小；
（2）在A运动第2周的时间内电场力做功的平均功率$\overline{{P}_{2}}$； 
（3）若有一个质量也为m、电荷量为+4q的粒子B（不计重力）与A同时从M板小孔飘入板间，A、B初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变，运动过程B粒子的轨迹半径也始终不变．求A、B粒子在磁场作用下做圆周运动的周期之比$\frac{T_A}{T_B}$和半径之比$\frac{R_A}{R_B}$．

Answer 1

分析 （1）对直线加速过程根据动能定理列式；对磁场中的圆周运动过程根据牛顿第二定律列式；最后联立求解即可；
（2）A运动第2周的时间内电场力做功为qU；先根据动能定理求解该过程的速度，然后根据线速度的定义公式求解时间；最后根据平均功率的定义求解平均功率；
（3）由T=$\frac{2πm}{qB}$求出周期之比．根据动能定理判断粒子速度关系，然后根据R=$\frac{mv}{qB}$求轨道半径之比．

解答 解：（1）设A经电场第1次加速后速度为v₁，由动能定理得：
 qU=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-0   ①
A在磁场中做匀速圆周运动，所受的洛伦兹力提供向心力，故：
 qv₁B₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$  ②
由①②解得：
B₁=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$③
（2）设A经过2次加速后的速度为v₂，由动能定理，得到：
 2qU=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0             ④
设A做第2次圆周运动的周期为T₂，有：
T₂=$\frac{2πR}{{v}_{2}}$ ⑤
设在A做第2周运动的时间内，电场力做功为W₂，则：
 W₂=qU    ⑥
在该段时间内，电场力做功的平均功率为：$\overline{{P}_{2}}$=$\frac{{W}_{2}}{{T}_{2}}$ ⑦
由④⑤⑥⑦解得：$\overline{{P}_{2}}$=$\frac{qU}{πR}$$\sqrt{\frac{qU}{m}}$ ⑧
（3）A经过n次加速后，设其对应的磁感应强度为B_n，A、B的周期分别为T_A、T_B，综合②⑤式并分别应用A、B的数据得到：
 T_A=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$，T_B=$\frac{2πm}{4q{B}_{n}}$
则两个粒子做圆周运动的周期之比 $\frac{T_A}{T_B}$=$\frac{4}{1}$
由上可知，T_A是T_B的4倍，所以A每次绕行1周，B就绕行4周．由于电场只在A通过时存在，故B仅在与A同时进入电场时才被加速．
经过n次加速后，A、B的速度分别为v_A和v_B，考虑到④式，有：
 v_A=$\sqrt{\frac{2nqU}{m}}$
 v_B=$\sqrt{\frac{2×4qU}{m}}$=2v_A
由题设条件并考虑到⑤式，对A有：
 T_Av_A=2πR_A；
设B的轨迹半径为R′，有：
 T_Bv_B=2πR_B；
比较上述两式得到：半径之比 $\frac{R_A}{R_B}$=$\frac{2}{1}$
答：
（1）A运动第1周时磁场的磁感应强度B₁的大小为$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）在A运动第2周的时间内电场力做功的平均功率$\overline{{P}_{2}}$是$\frac{qU}{πR}$$\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
（3）A、B粒子在磁场作用下做圆周运动的周期之比$\frac{T_A}{T_B}$是$\frac{4}{1}$，半径之比$\frac{R_A}{R_B}$是$\frac{2}{1}$．

点评 本题关键是明确同步加速器的工作原理，然后结合动能定理、牛顿第二定律、电功率定义和几何关系列式分析．