如图1所示.装置BO′O可绕竖直轴O′O转动.可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B.C两点.装置静止时细线AB水平.细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg.细线AC长L=1m.B点距C 点的水平和竖直距离相等．(重力加速度g取10m/s2.sin37°=$\frac{3}{5}$.cos37°=$\frac{4}{5}$)(1)若装置匀速转动的角速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图1所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=1m，B点距C 点的水平和竖直距离相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）若装置匀速转动的角速度为ω₁时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角；
（3）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在坐标图2中画出细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系图象．

分析（1）细线AB上张力恰为零时小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度ω₁的大小．
（2）ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＞ω₁时，细线AB松弛，根据小球重力和拉力的合力提供向心力求出细线AC与竖直方向的夹角．
（3）根据牛顿第二定律分别求出ω≤ω₁时、ω₁≤ω≤ω₂时、ω＞ω₂时拉力的大小，从而确定细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系，并作出图象．

解答解（1）细线AB上张力恰为零时有 mgtan37°=mω₁²Lsin37°
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s
（2）因ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＞ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s，则细线AB应松弛，有
mgtanθ′=mω₂²Lsinθ′
解得：cosθ′=0.6，则θ′=53°，此时细线AB恰好竖直，但张力为零．
（3）当ω≤ω₁=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量等于小球的重力，则
Tcosθ=mg
得 T=$\frac{mg}{cosθ}$=12.5N
当ω₁≤ω≤ω₂时细线AB松弛，细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力，有：
Tsinθ=mω²Lsinθ，
得：T=mω²L
当ω＞ω₂时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力，有：
Tsinθ=mω²Lsinθ，
得：T=mω²L
综上所述ω≤ω₁=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s时，T=12.5N不变；ω＞ω₁时，T=mω²L=ω²（N），T-ω²关系图象如图所示．
答：
（1）角速度ω₁的大小为$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s．
（2）细线AC与竖直方向的夹角为53°．
（3）细线AC上张力T随角速度的平方ω²变化的关系图象如图．

点评解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．

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13．

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A．

2：1

B．

3：1

C．

1：2

D．

1：3

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