Question

3．如图所示，小球以某一速度从竖直放置的半径为R的光滑圆形轨道底端A点冲入．
（1）若小球恰能从B点脱离轨道（OB与水平方向成37°），则V₀为多少？
（2）若小球始终不离开轨道，求V₀的取值范围？

Answer 1

分析 （1）从A到B的过程中，根据动能定理结合向心力公式列式求解；
（2）设小球恰能通过圆周最高点的速度为v₁，根据动能定理和向心力公式求出速度，若小球恰能沿原轨迹返回，根据动能定理求出速度，从而求出范围．

解答 解：（1）从A到B的过程中，由动能定理得：
-mgR（1+sin37°）=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
在B点，由牛顿第二定律得：
mgsin37°=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：v₀=$\sqrt{3.8gR}$；
（2）设小球恰能通过圆周最高点的速度为v₁，
根据动能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
在最高点，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，解得：v₀=$\sqrt{5gR}$，
若小球恰能沿原轨迹返回，由动能定理得：
-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{2gR}$，
则若小球始终不离开轨道的v₀的取值范围是：v₀≤$\sqrt{2gR}$或v₀≥$\sqrt{5gR}$；
答：（1）若小球恰能从B点脱离轨道（OB与水平方向成37°），则V₀为$\sqrt{3.8gR}$；
（2）若小球始终不离开轨道，V₀的取值范围为：v₀≤$\sqrt{2gR}$或v₀≥$\sqrt{5gR}$．

点评 本题主要考查了动能定理结合向心力公式的直接应用，分析清楚小球的运动过程是解题的关键，应用动能定理与牛顿第二定律可以解题．