Question

16．如图倾角为37°斜面上，放有质量为2千克的物体，物体与斜面的动摩擦因数μ=0.25，斜面长8米．求：
（1）物体下滑的加速度和物体从斜面顶端由静止下滑到底端所用时间．
（2）若从底端给物体初速度v₀=8米/秒，求物体向上运动的加速度、运动的最大位移、及返回底端所用总时间．
（3）若在该物体上再放一个小物体，这些过程会变化吗？说明理由．
（4）若在该物体上再加一直竖直向下的大小为4牛的压力，物体下滑的加速度多大？
（5）光滑物体上滑与下滑的加速度有什么关系？通过计算说明．

Answer 1

分析 （1）对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律求得物体的加速度并由加速度和斜面长度求得物体下滑的时间；
（2）根据牛顿第二定律求得物体上滑的加速度，再根据运动学规律求解；
（3）在小物体上放一个小物块相当于物体的质量增加，根据上述分析讨论运动过程是否发生变化；
（4）对物体进行受力分析确定在物体上加一竖直向下的4N作用力时物体下滑时的加速度；
（5）根据牛顿第二定律求解物体上滑与下滑时的加速度．

解答 解：（1）如图对物体进行受力分析有：

由题意知：F_合y=N-mgcos37°=0…①
F_合x=mgsin37°-f=ma…②
又摩擦力为：f=μN…③
所以物体下滑的加速度为：a=gsin37°-μgcos37°=10×0.6-0.25×10×0.8m/s²=4m/s²
物体在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动根据：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
可得物体下滑的时间为：t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2×8}{4}}s=2s$
（2）如图当物体沿斜面上滑时，受力如图所示：

可得物体上滑时的加速度为：a′=gsin37°+μgcos37°=10×0.6+0.25×10×0.8m/s²=8m/s²
物体在斜面上向上运动的最大位移为：$x=\frac{{v}_{0}^{2}}{2a′}=\frac{8×8}{2×8}m=4m$
物体上滑所用时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{a′}=\frac{8}{8}s=1s$
物体沿斜面下滑时的受力如（1）中所示，加速度大小a=4m/s²，所以物体从斜面上再滑到最低端所用时间为：
${t}_{2}=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2×4}{4}}s=1.4s$
所以物体在斜面上运动的总时间为：t=t₁+t₂=1+1.4s=2.4s
（3）若在物体上再放一个物体，相当于物体的质量m增加，根据题（2）分析知，物体上滑和下滑时的加速度与物体质量无关，故再放一个物体不改变物体上滑和下滑时的加速度也不改变其运动时间，即不改变物体的运动状态．
（4）给物体竖直向下的4N作用力时，有：

如图有：F_合y=N-（mg+F）cos37°=0
F_合x=（mg+F）sin37°-f=ma″
f=μN
可解得：a″=4.8m/s²
（5）

如图可知，如果是光滑斜面，物体只受重力和斜面支持力作用，沿斜面向下的合力使物体产生加速度，根据力的合成有：
垂直斜面方向有：N-mgcos37°=0
沿斜面方向有：mgsin37°=ma
由此可知，物体运动的加速度a=gsin37°=6m/s²
答：（1）物体下滑的加速度为4m/s²，物体从斜面顶端由静止下滑到底端所用时间为2s；
（2）若从底端给物体初速度v₀=8米/秒，物体向上运动的加速度为8m/s²方向沿斜面向下、运动的最大位移为4m、返回底端所用总时间为2.4s；
（3）若在该物体上再放一个小物体，这些过程不会变化吗，放上小物体相当于增加物体的质量，而加速度与质量大小无关；
（4）若在该物体上再加一直竖直向下的大小为4牛的压力，物体下滑的加速度4.8m/s²；
（5）光滑物体上滑与下滑的加速度相等．

点评 通过正交分解法求解物体所受合力，根据牛顿第二定律求得加速度，本题关键在于在物体上放小物体相当于增加质量，在物体上使加向下的作用力时物体的质量没有增加．