Question

1．如图所示，在xOy平面内第一象限存在水平向右的匀强电场，场强为E=2v/m，第二象限和第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=1T．有一带负电的粒子，比荷为4C/kg，从x轴上x=3m的P点以初速度v₀=4m/s垂直于x轴进入电场，不计带电粒子的重力．求：
（1）带电粒子第一次通过y轴时距O点的距离；
（2）带电粒子进入匀强磁场后经多长时间第一次返回到电场；
（3）试通过计算说明粒子能否通过y轴正半轴上的Q点？已知Q点到O点的距离为28$\sqrt{3}$m．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子第一次通过y轴时距离O点的距离．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，通过对几何关系的运算判断粒子是否能进入第四象限做匀速直线运动，若粒子没有进入第四象限直接回到电场，若进入第四象限，做一段匀速直线运动后再回到电场，最后求出总的运动时间．
（3）粒子在电场中运动，在磁场中做匀速圆周运动，根据粒子运动过程求出粒子通过y轴正半轴上的距离，然后分析答题．

解答 解：（1）粒子在第一象限做类平抛运动，根据类平抛规律可得：
x方向做匀加速：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
y方向做匀速直线运动：y=v₀t
根据牛顿第二定律：Eq=ma，可得粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$=4×2=8m/s²，
联立以上各式可得粒子第一次通过y轴时距O点的距离：
y=${v}_{0}\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$4×\sqrt{\frac{2×3}{8}}$m=2$\sqrt{3}$m
（2）画出粒子轨迹过程图如图所示，

根据类平抛规律有：
y方向分速度：v_y=v₀=4m/s
x方向分速度：v_x=at=a$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=4$\sqrt{3}$m/s
粒子进入磁场时的速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=8m/s
v_x与v₀方向夹角：tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$=$\sqrt{3}$
即：θ=60°
粒子在磁场中做圆周运动，
根据洛伦兹力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：R=$\frac{mv}{qB}$=2m
粒子在磁场运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{π}{2}$s
根据几何关系可知，粒子在磁场中转过240°的圆心角后离开磁场，
从粒子进入磁场到离开磁场的过程，沿y轴方向的位移：△x=$\sqrt{3}$R=2$\sqrt{3}$m=y=v₀t
所以粒子没有进入第四象限，粒子恰好从坐标原点O第一次返回到电场，
经历的时间：t=$\frac{240°}{360°}$T=$\frac{π}{3}$s≈1.05s
（3）画出周期性运动的粒子轨迹过程图，如图所示，

粒子在电场和磁场中做周期性运动，每个周期粒子向上平移的距离为：△x=y=2$\sqrt{3}$m
粒子经过y轴上点的纵坐标y′满足：y′=n•2△x（其中n=0，1，2，3…）
若粒子经过y轴正半轴上的Q点，需满足：y′=n•2△x=28$\sqrt{3}$m
解得：n=7，因为n为整数，故粒子可以通过y轴正半轴上的Q点．
答：（1）带电粒子第一次通过y轴时距O点的距离为2$\sqrt{3}$m；
（2）带电粒子进入匀强磁场后大约经1.05s后第一次返回到电场；
（3）粒子能通过y轴正半轴上的Q点．

点评 本题考查了电子在电场与磁场中的运动问题，是电磁学与力学的一道综合题，分析清楚电子的运动过程，应用类平抛运动规律、运动的合成与分解、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．第（2）问要注意判断粒子出磁场的位置，要判断出粒子是否进入第四象限，第（3）问的关键是要根据几何关系，正确画出周期性运动的粒子轨迹过程图，找出经过Q点的条件，即：n为整数，粒子就能经过Q点．