Question

19．如图所示的平行板之间，存在着相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B₁=0.20T，方向垂直纸面向里，电场强度E₁=1.0×10⁵ V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有一边界线AO，与y轴的夹角∠AOy=45°，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B₂=0.25T，边界线的下方有水平向右的匀强电场，电场强度E₂=5.0×10⁵ V/m，在x轴上固定一水平的荧光屏．一束带电荷量q=8.0×10^-19 C、质量m=8.0×10^-26 kg的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为（0，0.4m）的Q点垂直y轴射入磁场区，最后打到水平的荧光屏上的位置C．求：（不计离子的重力影响）
（1）离子在平行板间运动的速度大小；
（2）离子打到荧光屏上的位置C的坐标；
（3）现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B₂′应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）带电粒子电场力与洛伦兹力平衡时，即可求解；
（2）离子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可求出半径；离子在电场中做类平抛运动，根据运动学公式可求出发生位移，从而确定离子打到荧光屏的水平坐标；
（3）根据几何知识来画出运动轨迹，求出最大半径，并结合牛顿第二定律，求出磁场满足的条件．

解答 解：（1）设离子的速度大小为v，由于沿中线PQ做直线运动
则有qE₁=qvB₁，
代入数据解得：v=5.0×10⁵ m/s．
（2）离子进入磁场，做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律有qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得，r=0.2 m，
作出离子的运动轨迹，交OA边界于N，如图甲所示，OQ=2r，
若磁场无边界，一定通过O点，则圆弧QN的圆周角为45°，
则轨迹圆弧的圆心角为θ=90°，过N点做圆弧切线，方向竖直向下，
离子垂直电场线进入电场，做类平抛运动
y=OO′=vt   
 x=$\frac{1}{2}$at²
而a=$\frac{q{E}_{2}}{m}$      
则x=0.4 m
离子打到荧光屏上的位置C的水平坐标为x_C=（0.2+0.4）m=0.6 m．
（3）只要粒子能跨过AO边界进入水平电场中，粒子就具有竖直向下的速度而一定打在x轴上．如图乙所示，由几何关系可知使离子不能打到x轴上的最大半径r′=$\frac{0.4}{\sqrt{2}+1}$ m
设使离子都不能打到x轴上，最小的磁感应强度大小为B₀
则qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，代入数据解得B₀=$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$ T=0.3 T，
则B₂′≥0.3 T．
答：（1）离子在平行板间运动的速度大小5.0×10⁵ m/s；
（2）离子打到荧光屏上的位置C的水平坐标0.6 m；
（3）现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B₂′应满足大于0.3T．

点评 考查带电粒子做匀速圆周运动与类平抛运动中，用牛顿第二定律与运动学公式，并结合几何关系来处理这两种运动，强调运动的分解，并突出准确的运动轨迹图．