Question

19．如图所示，在空间存在着三个相邻的电场和磁场区域，边界分别为PP′、QQ′、MM′、NN′且彼此相互平行．取PP′上某点为坐标原点O，沿PP′方向向右为x轴，垂直PP′向下为y轴建立坐标系xOy．三个场区沿x方向足够长，边界PP′与QQ′之间为+y方向的匀强电场I，边界MM′与NN′之间为-y方向的匀强电场Ⅲ，两处电场的电场强度大小都为E，y方向宽度都为d．边界QQ′与MM′之间为垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，y方向宽度为2d．带电量为+q、质量为m、重力不计的带电粒子，从O点以沿+x方向的初速度进入电场I．当粒子的初速度大小为v₀时，粒子经场区Ⅰ、Ⅱ偏转到达边界MM′时，速度沿+x方向．

（1）求粒子从O点出发后到第一次进入磁场区域II所需时间t；
（2）求v₀的大小；
（3）当粒子的初速度大小为v₁（0≤v₁＜v₀）时，求粒子在第一次飞出磁场之后的运动过程中，纵坐标y的最小值y_min和最大值y_max．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场Ⅰ区做类平抛运动，在竖直方向做匀加速直线运动，由位移公式就能求出在场区Ⅰ的时间．
（2）带电粒子先做类平抛运动后做匀速圆周运动达到MM′时速度变为水平，由几何关系可以找到做匀速圆周运动的半径与宽度d、在电场在的偏转角的关系，结合洛仑兹力提供向心力就能求出平抛的初速度．
（3）可以想象，当初速度越小，进入磁场里速度方向与水平方向的夹角越大，则穿出磁场进入Ⅲ区电场越远，所以把离MN的距离表示出来，从而可以求出粒子在第一次飞出磁场之后的运动过程中，纵坐标y的最小值y_min和最大值y_max．

解答 解：（1）带电粒子在电场区域I中做类平抛运动，y分运动为匀加速直线运动．qE=ma   $d=\frac{1}{2}a{t^2}$    所以：$t=\sqrt{\frac{2md}{qE}}$
（2）如图甲所示，带电粒子在电场中偏转，电场力做功，满足动能定理：$qEd=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
  带电粒子飞出电场时速度与x方向夹角设为α，则$cosα=\frac{v_0}{v}$
  在磁场中，粒子由洛伦兹力提供向心力做圆周运动，得$qvB=m\frac{v^2}{r}，得r=\frac{mv}{qB}$
  粒子轨迹刚好和MM'相切，由几何关系得r=rcosα+2d
  综合上述四式可得：${v_0}=\frac{E}{2B}-\frac{qBd}{m}$

（3）粒子在磁场中纵坐标最大的位置与QQ'的距离为：
$△y=r（1-cosα）=\frac{m}{qB}（v-{v_1}）=\frac{m}{qB}（\sqrt{v_1^2+v_y^2}-{v_1}）$
  可见，v₁越小，△y越大，轨迹的纵坐标的最大值反而越大．
  所以，当粒子的初速度大小为v₁（0≤v₁＜v₀）时，粒子进入区域III．
  如图乙所示，设粒子进入电场III时速度与边界MM'夹角为β．
  由几何关系可知：rcosβ-rcosα=2d，$cosα=\frac{v_1}{v}$，$cosβ=\frac{{{{v'}_x}}}{v}$，
解得：${v'_x}={v_1}+\frac{2dqB}{m}$
  由粒子在区域I的运动可知：${v_y}=\sqrt{2ad}=\sqrt{2\frac{qE}{m}d}$
  带电粒子进入电场III后，y方向分运动有：$v'_y^2=\frac{2qEd}{m}-\frac{{4qB{v_1}d}}{m}-\frac{{4{d^2}{q^2}{B^2}}}{m^2}$
  粒子在电场III中纵坐标最大的位置与MM'的距离  $△y=d-\frac{{2q{B^2}{d^2}}}{mE}-\frac{{2Bd{v_1}}}{E}$
  所以，${y_{max}}=3d+△y=4d-\frac{{2q{B^2}{d^2}}}{mE}-\frac{{2Bd{v_1}}}{E}$．根据运动的对称性，带电粒子还将进入磁场Ⅱ及电场Ⅰ，并到达边界PP'，
  所以，y_min=0．
答：（1）粒子从O点出发后到第一次进入磁场区域II所需时间为$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$．
（2）v₀的大小$\frac{E}{2B}-\frac{qBd}{m}$．
（3）当粒子的初速度大小为v₁（0≤v₁＜v₀）时，粒子在第一次飞出磁场之后的运动过程中，纵坐标y的最小值是0，
   最大值$4d-\frac{2q{B}^{2}{d}^{2}}{mE}-\frac{2Bd{v}_{1}}{E}$．

点评 本题的靓点在于第二问：经电场和磁场两次偏转后速度方向变为水平，先由几何关系、动能定理、牛顿第二定律等知识，解方程可以求出初速度；本题的难点在于第三问：先定性分析什么情况下进入Ⅲ区的深度越大，然后表示出关系式，从关系式就能求出粒子在第一次飞出磁场之后的运动过程中，纵坐标y的最小值y_min和最大值y_max