Question

20．利用弹簧弹射和传送带传动装置可以将工件运送至高处．如图所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数μ=0.25．传送带传动装置顺时针匀速转动的速度v=4m/s，两轮轴心相距L=5m，B、C 分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．现将质量m=1kg的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A 点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到传送带上的B点时速度v₀=8m/s，AB 间的距离s=1m．工件可视为质点，g 取10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）工件沿传送带上滑的时间；
（3）求工件在皮带上滑动的全过程中所产生的内能是多少．

Answer 1

分析 （1）根据工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度v₀=8m/s，A、B间的距离s=lm，通过能量守恒定律求出弹簧的最大弹性势能．
（2）因为μ＜tan37°，当工件速度减为传送带速度时，又以不同的加速度向上减速，根据牛顿第二定律求出两次匀减速直线运动的加速度，然后根据运动学公式求出上滑的总时间．
（3）根据运动学公式求出工件与皮带间的相对滑动的路程，再由滑动摩擦力与相对路程的乘积求产生的内能．

解答 解：（1）滑块从A到B过程，弹簧的弹性势能的减小等于滑块机械能的增加，根据机械能守恒定律，得：
弹簧的最大弹性势能为：E_p=mgssin37°+$\frac{1}{2}$mv₀²
代入数据解得：E_P=38J．
（2）工件沿传送轨道减速向上滑动的过程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
代入数据解得 a₁=8m/s²．
从B点运动到与传送带共速需要的时间为：t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}$=$\frac{8-4}{8}$s=0.5s．
工件滑行的位移大小为：s₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t₁=$\frac{8+4}{2}$×0.5m=3m＜L．
因为μ＜tan37°，所以工件将沿传送带继续减速上滑．有：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
代入数据解得：a₂=4m/s²．
假设工件速度减为零时，工件未从传送带上滑落，则有：t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{4}$s=1s．
工件滑行的位移大小为：s₂=$\frac{v}{2}$t₂=$\frac{4}{2}$×1=2m=L-s₁；
故假设成立，工件沿传送带上滑的时间为：t=t₁+t₂=1.5s．
（3）工件在皮带上以加速度a₁滑动的过程中皮带的位移为
x_皮1=vt₁=4×0.5m=2m
工件与皮带间的相对位移大小为△x₁=s₁-x_皮1=3m-2m=1m
工件在皮带上以加速度a₂滑动的过程中皮带的位移为
x_皮2=vt₂=4×1m=4m
工件与皮带间的相对位移大小为△x₂=x_皮2-s₂=4m-2m=2m
所以全过程中产生的内能是 Q=μmgcos37°（△x₁+△x₂）
代入数据解得 Q=6J
答：
（1）弹簧的最大弹性势能是38J．
（2）工件沿传送带上滑的时间为1.5s．
（3）工件在皮带上滑动的全过程中所产生的内能是6J．

点评 解决本题的关键是要理清工件的运动情况，注意分析工件与传送带速度相同时的运动状态，通过牛顿第二定律和运动学公式分段进行研究．