Question

如图所示，在坐标系xOy所在平面内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标O₁（a，0），圆内分布有垂直xOy平面的匀强磁场．在坐标原点O处有一个放射源，放射源开口的张角为90°，x轴为它的角平分线．带电粒子可以从放射源开口处在纸面内朝各个方向射出，其速率v、质量m、电荷量+q均相同．其中沿x轴正方向射出的粒子恰好从O₁点的正上方的P点射出．不计带电粒子的重力，且不计带电粒子间的相互作用．
（1）求圆形区域内磁感应强度的大小和方向；
（2）a．判断沿什么方向射入磁场的带电粒子运动的时间最长，并求最长时间；
b．若在y≥a的区域内加一沿y轴负方向的匀强电场，放射源射出的所有带电粒子运动过程中将在某一点会聚，若在该点放一回收器可将放射源射出的带电粒子全部收回，分析并说明回收器所放的位置．

Answer 1

分析：（1）沿x轴正方向射出的粒子恰好从O₁点的正上方的P点射出，可判断出偏转方向，利用左手定则可判磁场方向；找出圆心画出轨迹，利用几何关系可求出半径，再利用洛伦兹力提供向心力即可求出B；
（2）a、画出最上最下两个临界情况的轨迹，即可分析出沿与x轴45°向下射出的带电粒子在磁场中运动的时间最长，利用几何关系即可求出速度偏转角，从而即可求出时间；
b、画出任意方向射入磁场的轨迹，利用几何关系可发现，粒子均沿y轴正向射出，又在电场中先减速后反向匀加速回到射出点，再次进入磁场，再次画出轨迹，找出规律即可求解．

解答：解：（1）沿x轴正方向射出的粒子恰好从O₁点的正上方的P点射出，运动轨迹如图所示


由几何关系可得R=a      ①
设圆形磁场区域内的磁感应强度为B，带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力提供向心力：qvB=m

v2

R

    ②
①②联立得；B=

mv

qa

由左手定则判断磁场方向垂直于xOy平面向里
（2）经分析，沿与x轴45°向下射出的带电粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图，

根据几何关系粒子离开磁场时速度方向沿y轴正方向，∠OO₃Q=135°．
设该带电粒子在磁场中运动的时间为t，根据圆周运动周期公式得：T=

2πR

v

      ③
所以tmax=

135

360

T      ④
①③④联立得：tmax=

3πa

4v

（3）设某带电粒子从放射源射出，速度方向与x轴的夹角为α，做速度v的垂线，截取OO₄=a，以O₄为圆心a为半径做圆交磁场边界于M点．如图所示：

由于圆形磁场的半径与带电粒子在磁场中运动的半径均为a，故OO₁MO₄构成一个菱形，所以O₄M与x轴平行，因此从放射源中射出的所有带电粒子均沿y轴正方向射出．带电粒子在匀强电场中做匀减速直线运动，返回磁场时的速度与离开磁场时的速度大小相等方向相反，再进入磁场做圆周运动，圆心为O₅，OO₄O₅N构成一平行四边形，所以粒子在磁场中两次转过的圆心角之和为180°，第二次离开磁场时都经过N点．故收集器应放在N点，N点坐标为（2a，0）．  
答：（1）圆形区域内磁感应强度的大小为B=

mv

qa

，方向垂直于xOy平面向里
（2）a、最长时间tmax=

3πa

4v

b、（2a，0）．

点评：解决带电粒子在磁场中的问题，关键是根据题意找出圆心，画出轨迹，一切问题可轻松解决．