Question

小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水，
平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为

3

4

d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．求：
（1）绳断时球的速度大小v₁；
（2）绳能承受的最大拉力；
（3）改变绳长（绳承受的最大拉力不变），保持手的位置不动，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

Answer 1

分析：（1）绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动的高度求出时间，根据水平位移和时间求出绳断时球的速度大小．
（2）根据在最低点，合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出最大拉力．
（3）根据最大拉力，通过牛顿第二定律求出绳断后的速度与绳长的关系，根据平抛运动求出平抛运动水平位移的表达式，通过数学方法二次函数求极值，求出l为多少时，x最大．

解答：解：（1）设绳断后球做平抛运动的时间为t₁，
竖直方向上：

1

4

d=

1

2

gt12，水平方向上：d=v₁t₁
解得v1=

2gd

．
（2）设绳能承受的最大拉力为F_m．
球做圆周运动的半径为R=

3

4

d
Fm-mg=m

v12

R

解得Fm=

11

3

mg．
（3）设绳长为l，绳断时球的速度为v₂．
有：Fm-mg=m

v22

l

，解得v2=

8gl 3

．
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t₂．
有：d-l=

1

2

gt22，x=v₂t₂．
得x=4

ld-l2 3

当l=

d

2

时，x有极大值xmax=

2 3

3

d．
答：（1）绳断时球的速度大小v1=

2gd

．
（2）绳能承受的最大拉力为Fm=

11

3

mg．
（3）要使球抛出的水平距离最大，绳长应为

d

2

，最大水平距离为xmax=

2 3

3

d．

点评：本题综合了平抛运动和圆周运动两个运动，关键知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．