Question

17．迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1?581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0℃到40℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13天．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（　　）

• A． 该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度2倍
• B． 如果人到了该行星，其体重（重力）是地球上的2$\frac{2}{3}$倍
• C． 该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的$\sqrt{\frac{13}{365}}$倍
• D． 行星“G1581c”绕恒星“Gliese581”运动轨道半径的三次方与周期平方之比等于地球绕太阳运动半径的三次方与周期平方之比

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，列出等式表示出所要求解的第一宇宙速度和该行星与“Gliese581”的距离．根据万有引力近似等于重力，求出该行星表面与地球表面重力加速度之比，即可求出体重关系．

解答 解：A、当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，M是行星的质量，R是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为v_行：v_地=$\frac{\sqrt{\frac{6GM}{1.5R}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}}=\frac{2}{1}$．故A正确；
B、由万有引力近似等于重力，得$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
得行星表面的重力加速度为g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，则得该行星表面与地球表面重力加速度之比为g_行：g_地=$\frac{\frac{6GM}{（1.5R）^{2}}}{\frac{GM}{{R}^{2}}}=\frac{8}{3}$
所以如果人到了该行星，其体重是地球上的2$\frac{2}{3}$倍．故B正确；
C、根据万有引力提供向心力，列出等式$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
可得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
行星“G1-58lc”公转周期为13个地球日．
将已知条件代入解得：行星“G1-58lc”的轨道半径与地球轨道半径r_行G：r_日地=$\root{3}{\frac{0.31×（13）^{2}}{36{5}^{2}}}$，故C错误；
D、根据圆周运动公式得：v=$\frac{2πr}{T}$
轨道半径r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，所以v=2π$\root{3}{\frac{GM}{4{π}^{2}T}}$
该行星公转速率与地球公转速率之比是$\root{3}{\frac{0.31×365}{13}}$，故D错误；
故选：AB．

点评 本题行星绕恒星、卫星绕行星的类型，建立模型，根据万有引力提供向心力，万有引力近似等于重力进行求解．