Question

7．如图所示，空间存在着沿z方向的匀强磁场和匀强电场，电场强度为E，磁感应强度为B，M是-垂直于y轴的荧光屏，0点到屏M的距离为L，在从O点沿Oy方向发射出一束速度、荷质比相同的带正电粒子打到屏上的P点，P点坐标为（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$，L，$\frac{L}{6}$）．求
（1）粒子的荷质比为多大？
（2）粒子打到P点时的动能（不计重力和一切阻力）

Answer 1

分析 粒子做螺旋状曲线运动，即在xoy平面的匀速圆周运动和竖直向上的匀加速直线运动的合运动，分别从两个方向应用相关规律列方程解出．
（1）先根据打在屏上的x、y坐标求出匀速圆周运动的半径和转过的角度，转过角度决定了粒子运动的时间，从而就可以求出粒子的比荷．
（2）在z轴方向上，粒子在电场作用下做匀加速直线运动，求出加速度从而也得到了

解答 解（1）粒子在磁场力作用下，在XOY面内做圆周运动，由几何关系：
${R^2}={L^2}+{（{R-\frac{{\sqrt{3}}}{3}L}）^2}$   ①
所以半径：R=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}L$     ②
又sinα=$\frac{L}{R}$   所以  α=60⁰．
粒子在磁场中运动时间 $t=\frac{{{{60}^0}}}{{{{360}^0}}}T=\frac{πm}{3qB}$．③
粒子在电场力作用下沿+Z．方向做匀加速运动$\frac{l}{6}=\frac{Eq}{2m}{t^2}$      ④
由③④得  $\frac{q}{m}=\frac{{{π^2}E}}{{3L{B^2}}}$     
（2）设粒子在XOY面内做圆周运动的速度 为v₁     则：$q{v_1}B=\frac{{m{v_1}^2}}{R}$         ⑤
由②③④⑤⑥得：v₁=$\frac{{2\sqrt{3}E{π^2}}}{9B}$     ⑥
粒子在电场力作用下沿+Z．方向做匀加速运动到P的速度v₂=$at=\frac{Eq}{m}t$      ⑦
由③⑤⑦得v₂=$\frac{πE}{3B}$ 
粒子到P的速度v：$v=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2}={\sqrt{{{（{\frac{{2\sqrt{3}E{π^2}}}{9B}}）}^2}+{{（{\frac{πE}{3B}}）}^2}_{\;}}^{\;}}$．
动能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（\frac{2\sqrt{3}E{π}^{2}}{9B}）^{2}+\frac{1}{2}m（\frac{πE}{3B}）^{2}$
答：（1）粒子的荷质比为$\frac{{π}^{2}E}{3L{B}^{2}}$．
（2）粒子打到P点时的动能$\frac{1}{2}m（\frac{2\sqrt{3}E{π}^{2}}{9B}）^{2}+\frac{1}{2}m（\frac{πE}{3B}）^{2}$．

点评 本题涉及的题型很新颖：一是在三维坐标的运动合成问题，二是物体做螺旋运动．已知坐标，由几何关系求出匀速圆周运动分运动的半径和时间，从而求出荷比．至于第二问，由运动学公式求出合速度，从而求出粒子的动能．