Question

2．如图所示，卫星P绕地球做匀速圆周运动，周期为T，地球相对卫星的张角θ=60°．已知万有引力常量为G．求地球的平均密度．

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力，根据几何关系求得地球半径，由密度公式求得地球的平均密度．

解答 解：由题意令卫星的轨道半径为r，地球的半径为R，根据几何关系可知，地球半径R=$rsin\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}r$
对于卫星由万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得地球质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
地球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{1}{6}π{r}^{3}$
所以地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{1}{6}π{r}^{3}}=\frac{24π}{G{T}^{2}}$
答：地球的平均密度为$\frac{24π}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键是能根据几何关系求得卫星轨道半径与地球半径的大小关系，这是学生容易出错的主要地方．